Lorsque les trois équations

,\ rfF dY rfF

(0 rf«=0' db=°> tf^=°'

sont satisfaites, le point correspondant M de la surface peut présenter diverses singularités, nous nous bornerons à déterminer dans ce cas, et en supposant qu'aucune autre condition exceptionnelle ne se présente, le cône formé par les droites qui touchent au point M les courbes tracées sur la surface.

En désignant par a-hxi9 b-+-yl9 c-\-zn les coordonnées d'un point de la surface voisin du point singulier dont les coordonnées sont a, b, c, et en ayant égard aux conditions (1), le théorème de Taylor permettra de mettre l'équation F ( a?, y> z) =0 sous la forme

M contenant des termes du troisième ordre, ou d'ordre supérieur, par rapport k xi9 yt9 z%. Si l'on coupe la surface par une sphère de rayon infiniment petit R, ayant son centre au point M, on aura, en désignant par a, |3, y les angles formés par les axes de coordonnées avec le rayon vecteur qui aboutit k l'un des points d'intersection

tr,=Rcosa, ^, = Rcosp, z, = Rcos7.

Par la substitution de ces valeurs, le facteur R8 figurera à tous les termes de M, et l'équation deviendra, en supprimant ce facteur,

i/rf'F , rf'F 9Û tf'F ,

i W cos*+~diï cos p +rf^cos 7

4-2 . ,. COSa COSp-h 2 ,. , C0SpC0S7-h2 , , COSa COS 7 ) -h M, R = O,

et les angles a, /3, y, sont donc tels, que le polynôme placé entre parenthèses soit infiniment petit avec R; il en résulte évidemment que toutes les courbes tracées sur la surface sont tangentes aux génératrices du cône lieu des droites pour lesquelles cette condition est remplie, et qui a pour équation

7d2F , rf'F 3d2F d2F d2F tf'F

c'est un cône du second degré. S'il est imaginaire, la surface n'a pas de tangentes au point M, qui est par conséquent un point isolé.

471 . H existe sur certaines surfaces, des lignes singulières suivant lesquelles elles sont touchées par un même plan, et dont la recherche se rattache naturellement au sujet traité dans ce chapitre.

Soit

l'équation d'une surface. Si l'on pose

dz dz

l'équation du plan tangent est

Les coordonnées du point de contact en variant infiniment peu, deviennent x 4- dx9 y+dy, z-\-dz; les conditions nécessaires et suffisantes pour que l'équation (2) reste la même, sont évidemment

dz=pdx + qdy dp = o, dq = o.