LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE
c'est cette somme qu'il faut rendre minima. Elle ne dépend évidemment que d'une seule variable, car <p et ^ sont liés par l'équation ( i ), et u et v en sont des fonctions données. On trouve en différentiant l'équation ( i )
ad 9 bdû
K } COS1? cos8+ '•
et puisque la différentielle de l'expression (2) est nulle quand il y a minimum, on doit avoir en même temps
ad 9 sin 9 adu bd ûsinû bdv
{^ ' U COS* 9 U* COS <p 0 cos2 + V* COS8 \|/ '
ce qui, en vertu de l'équation (3), se réduit à
sin 9 cos y sin^ cos *
du dv
Cette équation, jointe à la relation ( 1 ), détermine les angles <p et ^ ; elle* est susceptible d'une interprétation géométrique remarquable. L'inverse du premier membre est
dv
do ,
— u — sin 9 -+- cos <p
Si l'on considère u et y comme les coordonnées polaires d'un point, le pôle étant placé en M, et l'axe polaire perpendiculaire à OX, le lieu des points correspondants . aux diverses valeurs de y est une courbe que l'on peut considérer comme donnée, et dont la tangente fait avec le rayon vecteur un angle Y défini par l'équation
tangV=«^;
l'expression (6) devient alors
— utangV — «sinV
— tang V siny-+- cos? ~~ cos(V-t-y)
u sio V
Or — (y est la portion de la perpendiculaire k l'axe polaire comprise entre
le pôle et la tangente à la courbe, c'est-à-dire la distance du point M au point où la droite XX' est coupée par la tangente menée à la courbe par le point où elle rencontre le rayon MB.
Si l'on construit de même et du même côté de la ligne de séparation la courbe
dont les rayons vecteurs sont proportionnels à la vitesse de propagation dans le second milieu, le second membre de l'équation (6) représente la distance comprise entre le point M et le point ou la tangente à cette seconde courbe coupe XX'; il résulte de là que les deux tangentes doivent se rencontrer sur XX', et Ton est conduit au théorème suivant :
En admettant que la lumière se propage suivant une loi telle, que le temps du trajet soit un minimum, pour connaître le rayon réfracté correspondant à un rayon incident AM, on prolongera AM jusqu'à la rencontre de la courbe dont les rayons vecteurs représentent les vitesses dans le premier milieu, puis parle point d'intersection, la tangente à cette courbe, du point où cette tangente perce la ligne de séparation, on mène enfin une tangente à la seconde courbe dont les rayons vecteurs représentent les vitesses de propagation dans le second milieu. Le point de contact de cette tangente est situé sur le rayon réfracté.
478. Problème III. — - Trouver les deux axes de la section d'un ellipsoïde par un plan donné passant par son centre, en les considérant comme les rayons vecteurs maxima et minima de cette section.
Soit
l'équation de l'ellipsoïde. Le rayon vecteur r qui forme avec les axes les angles a, /3, y, est donné par la formule
, , I COS* a COS2Ô COS*7
Il ne dépend que d'une seule variable, car en nommant /, m, n9 les angles formés avec les axes par la normale au plan de la section considérée, on a évidemment
cosJ a -h coss B -f- cos* 7 = 1, (3)
cos a cos /-H cos p cos m -f- cos 7 cos/i = o.
- étant maximum lorsque r est minimum et réciproquement, nous résoudrons le
problème en égalant à zéro la ^différentielle de ~? et considérant cos ]3 et cos y comme des fonctions de cos a, définies par les équations (3); on aura
,fK COS a d, COS a COSBrfcOsB COS7 d COS 7
(4) -x + Fl + - =0.
LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE. La différentiation des équations (3) donne d'ailleurs
wi
eos a d COS a -h cos p d cos p -l- cos 7 d cos 7 = O , cos/rfcosa-hcosmrfcosp-l-cos/irf cos 7 = o.
H faut de ces deux dernières équations déduire rfeos |3 et dcosy et les substituer dans (4) ; celle-ci se réduira alors au produit de d cos a par un coefficient qu'il faudra égaler à zéro; or ce calcul revient évidemment à éliminer Jcosa, rfcos|3, rfcosy, entre les équations (4) et (5). Pour y parvenir, la méthode la plus simple consiste à ajouter ces équations après avoir multiplié deux d'entre elles par deux facteurs indéterminés X,, X2, puis a égaler à zéro les coefficients des trois différentielles ; deux des équations ainsi obtenues servent a déterminer les multiplicateurs X< et X2, tels, que l'addition fasse disparaître deux des différentielles, et la troisième équation est alors précisément le résultat de l'élimination. On obtient ainsi les relations
COS a
-h *i COS a -+- \i COS / = o ,
cos S „ », -t- >i cos p -+- X, cos m = o,
— r-* -h >, COS 7 -+- >, COS 71 = O. C*2
En éliminant entre elles X, et X2, on obtiendra la relation qui convient aux rayons vecteurs maxima et minima.
En ajoutant les équations (6) après les avoir respectivement multipliées par cos a, cos |3, cos 7, il vient, en ayant égard a (1) et (3),
et les équations deviennent, en remplaçant X, par -?
#•£*•«■ U:M« ,-k „,4 C0Sa (L L\ + \lC0S / = o,
(8) V, ros P (1-1)
cos 7
-h "k2 cos m = o7 -h>., cosn =0,
d'où l'on déduit, en ayant égard à la seconde équation (3),
cos
& cos^
■'/■■■ i«l , cr
•Cp v-
Cette équation, qui est du second degré en -7 , détermine les longueurs des deux
axes; r étant regardé comme connu» les équations (8) font connaître cosa, cos/3, cos 7 ; elles donnent en effet
cos / cos m cos n
cosa cosp cos y
et la somme des carrés des trois cosinus étant égale à l'unité, ils peuvent être regardés comme connus.
Solution géométrique de quelques problèmes.
479. Lorsqu'une fonction devient maxima ou minima, sa différentielle est nulle, et la variation correspondante à un accroissement infiniment petit de Ja variable dont elle dépend, se réduit à zéro quand on néglige les infiniment petits du second ordre. Cette considération peut s'appliquer directement dans un grand nombre de cas et fournir souvent une réponse très-simple aux questions de maxima et de minima.
Reprenons, par exemple, le problème déjà étudié {\T h): Trouver ta plus courte distance d'un point à une courbe.
Soit 0 le point donné, et OM la distance minima. Si Ton nomme M' un point infiniment voisin de M, situé sur la courbe, il faut que la différence OM! — OM soit nulle, lorsqu'on néglige les infiniment petits du second ordre. Or cette différence est égale (21 ) au produit de MM' par le cosinus de l'angle formé par OM avec MM'; ce cosinus doit donc être nul, et par conséquent la ligne de longueur minima ou maxima est une normale.
Cherchons pour second exemple un point situé sur une courbe donnée, et tel que la somme de ses distances à deux points donnés soit minima ou maxima.
M étant le point cherché, et A, B les points donnés, il faut que la somme AM -4- BM soit égale, en négligeant les infiniment petits du second ordre, à la somme AM'-f-BM\ relative à un point infiniment voisin. Or les accroissements de AM et de BM sont égaux (21 ) aux produits de MM' par les cosinus des angles formés par sa direction avec les lignes AM et BM; ces cosinus doivent donc être égaux et de signes contraires, et par conséquent la somme AM •+- BM est minimum lorsque les deux lignes AM et BM forment des angles égaux avec la courbe donnée sur laquelle se trouve le point M.
