LIVRE SEœND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

Maxima et minima des fonctions de deux variables.

480. Soit (f {ce* y) une fonction de deux variables indépendantes a? et y, les valeurs maxima et minima sont telles, que la différence

<p(tf-h/*, yr+k) — ?(x, y)

conserve le même signe, quelles que soient les valeurs très-petites, positives ou négatives, attribuées à h et à k. Le théorème de Taylor donne

(0 ?(*-h/i, j-t-Â) — <p(*,r) = *?-+- A • jjJ + R,

et pour des valeurs infiniment petites de h et de k, R est négligeable par rapport aux deux premiers termes, toutes les fois que ceux-ci sont différentes de zéro. Or ces termes, qui déterminent les signes du second membre, changent de signe sans changer de valeur quand on change h en —h et k en — k; l'accroissement de la fonction ne peut donc avoir un signe invariable que si l'on a à la fois

ce sont les conditions communes au maximum et au minimum.

On peut remarquer que la fonction <p (x, y)9 étant maximum ou minimum lorsque x et y sont l'un et l'autre variables, doit l'être à fortiori si on laisse Tune de ces quantités constantes. La règle relative aux fonctions d'une seule variable devient alors applicable et permet d'écrire immédiatement les équations (2). Mais ces deux équations ne sont pas suffisantes; en les supposant satisfaites, le théorème de Taylor donne

/ox / m è s / x h' d'y . . d2o k2 d2v .,

(3, f(s+k.r+A)-f(*.r) = T^z£+M1EÈ + — 3£ + *>

R étant pour de petites valeurs de h et de k> négligeable par rapport aux trois

premiers termes du second membre. Si donc les trois dérivées -t-?> . £ > €j^, ne

sont pas nulles, le signe du second membre, pour des valeurs infiniment petites de h et de k, sera le même que celui du trinôme

il y aura maximum ou minimum si cette somme reste toujours négative ou toujours

positive pour toutes les valeurs très-petites attribuées à h et à k; or, en écrivant

l'expression (4) de la manière suivante :

2 L^3 "*" * rf.r <>• + \h) dy>] '

on voit que son signe dépend seulement du second facteur, lequel est une fonction

k du rapport t-1 qui peut varier de — qo à h-oo , et pour que le trinôme conserve

toujours le même signe, on doit avoir

Celte condition exige évidemment que -j-^et j\ a*en^ Ie même signe; s'ils sont négatifs, le trinôme (4) est négatif, et il y a maximum; il y a minimum, au contraire, lorsque, l'inégalité (5) étant satisfaite, -r-f et -t-^ sont positifs.

Lorsque les valeurs de x et de y qui annulent -£ et -tv donnent

\d^iy) ~\l£)\Zr)=°9

le trinôme (4) ne peut pas "changer de signe, mais il peut devenir nul, et si l'on donne au rapport j-nne valeur convenable, les termes du second ordre disparaissent dans le second membre de l'équation (3 j, et ce sont ceux du troisième dont la somme impose son signe au développement; or ces termes changent de signe sans

changer de valeur, lorsque, laissant j invariable, on change h en — h, et k en —k;

il n'y a donc ni maximum ni minimum si, pour la valeur considérée du rapport 4 »

leur somme est différente de zéro; lorsque la somme des termes du troisième ordre est nulle en même temps que celle des termes du second, ce sont ceux du quatrième

ordre qui, pour cette valeur du rapport 4* imposent leur signe au développement,

et comme ils ne changent pas de signe lorsque h se change en — h et k en — X , il suffira, pour qu'il y ait maximum ou minimum, que .ce signe soit le même que

relui que conserve la somme des termes du second ordre pour les valeurs de -,

qui ne l'annulent pas.

481. Si les trois dérivées du second ordre -7-^1 -t4> -7—7-' sont nulles en même

ax7 a y2 ilxdy