LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

ditioo s'exprimera comme dans le cas de trois variables, en mettant le polynôme sous la forme d'une somme de carrés multipliés par des coefficients constants qui devront avoir tous le même signe. Il y a maximum lorsque tous sont négatifs, et minimum lorsqu'ils sont tous positifs. S'ils sont de signes différents, il n'y a ni maximum ni minimum.

Au lieu de dire que les dérivées de la fonction sont toutes nulles pour les valeurs des variables qui correspondent au maximum ou au minimum, on peut dire que la différentielle totale de la fonction est égale à zéro. Cette différentielle étant la somme des produits des dérivées par les accroissements arbitraires attribués aux variables, les deux énoncés sont évidemment équivalents. Le second est pourtant, dans certains cas, d'une application plus facile.

Maxima et minima des fonctions implicites.

484. La théorie précédente s'applique sans changement aux fonctions implicites; on peut concevoir en effet que des opérations algébriques les transforment en fonctions explicites; les conditions relatives au maximum ou au minimum s'exprimeront alors au moyen de dérivées que l'on peut calculer k l'avance par la méthode connue pour la différentiation des fonctions implicites. La manière la pins commode de former dans ce cas les conditions communes au maximum et au minimum consiste à égaler à zéro la différentielle totale de la fonction considérée.

Soitç (xi9 x2, x^ . . . xm+n) une fonction de /w-f-n variables entre lesquelles on donne n relations, L, = o, L2 — o. . . , Lw = o. La condition commune au maximum et au minimum est

Les variables xîfx2,...9 xtn+n9 étant liées par n équations, leurs différentielles satisfont % n équations du premier degré:

/ » ^L, , dL2 . tf L2 ,

dhm j dhm , dLM ,

7ïtdx* + !&,**' + • ••+1ZZd*-"=°-

Si par le moyen de ces n équations, on élimine du premier membre de l'équation ( i ) un nombre égal de différentielles, dxx\ dx2, . . . , dxn par exemple, toutes celles qui resteront pourront alors être considérées comme arbitraires, et l'on égalera ensuite à zéro les coefficients de chacune d'elles. On obtiendra ainsi m équations

qui, jointes aux n équations données, détermineront les valeurs des m+n inconnues

pour lesquelles il peut y avoir maximum ou minimum.

485. Pour éliminer les différentielles dœK, dx2f . . . , dxn9 on peut ajouter les équations (i) et (2) après avoir multiplié les dernières par des facteurs X,, X2, . . . , X„, que Ton déterminera de manière à rendre nuls les coefficients de ces différentielles : on devra ensuite, comme il a été dit, égaler à zéro les coefficients des différentielles restantes, en sorte que, pour des raisons différentes il est vrai, tous les coefficients auront été égalés à zéro, et Ton aura/w-t-/i relations entre les n multiplicateurs et les inconnues primitives, sans que le choix arbitraire des différentielles éliminées ait altéré en rien la symétrie des formules. Les équations ainsi obtenues sont

rf<P c/L, " dU % dhm

dx3 dxt dxj dxt

J« rfL, dU dhn

"3T*-f-« (*Xm+n (lXm+m <JXm+n

Il faudra leur adjoindre les n équations données L, = o, La =0, . . . , Ln = o, et le nombre total des équations se trouvera égal à celui des inconnues auxquelles il faut adjoindre les multiplicateurs XM X2, . . . , X„.

486. Comme application de la théorie des maxima des fonctions implicites, nous chercherons le polygone de plus grande surface que Ton puisse faire avec des côtés donnés.

Soient a?,,/,, oo29y29 . . . fœn, yn, les coordonnées inconnues des sommets du polygone, la surface qu'il s'agit de rendre minima a pour expression

(1) S=~ (*,— *,) (71 -+-/■)+ ^ (xi— x,)(xi-hxi)-h...-h ^(xn— *,)(.riH-r-)*

c'est-à-dire

(2) - [yt [xm—xi)^}\[xl — xi)-hyi(xi — xi)'h. . .-+-,>•„( xv-, — xt)]. ■

Les relations données entre les in variables xK , x2 , . . . , xn , j, , y2, . ..,/„, sont

a) =(xt — x7y-+-[yï—y,y,

a\={xi — x>y+(yt— j,)S (3)

ai = ( xn —xx )'-+- (yn— yx )».