LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE. S

La condition du maximum, dS = o, est ici

dyx{xu — x9)-\-dyt{xx — *,)-+-. . . -H «fy-» ( *—■ — X\)+?\d(xm — x*)+y%d(x%—x*)-\-. . .

+ymd{xm-t— xx) = o,

les différentielles qui y figurent étant liées par les n équations

{xx — xt) d{xt — x*) -+- ( j, — j2) d (yx — /,) = o,

(*,— ^3)£/(x,— j,j+(ri- r»)rf(r»— r») = o*

(jr„ — *,)</(#.— ^i)4-(r«— ym\)d{ym— y*) = o,

au moyen desquelles on peut éliminer de l'équation (4) les différentielles dœK, dxlf . . ., dxn; chacune d'elles figurant dans trois équations seulement, les multiplicateurs qu'il faut adopter pour que l'élimination se fasse par addition sont faciles à trouver, et l'on obtient une équation de la forme

(6) Ktdyt + Kidys-h...-t-Kmdym = o9 où l'on a

• k, = xm-x, + (r. -t-j, ) J=£ -(r. +r> ) J1^'

K,=*1-*4+(r.-»-r.)5Eî-{r.+r.)^E£*

L'application de la règle générale conduirait a égaler maintenant k zéro chacun des coefficients kt , h* , . . . , kn , mais ce serait commettre une grave erreur. Les n équations données entrer,, j,, #2, ya, . . .9xnfyn9 ne laissent pas en effet/,, ya,...,y„ entièrement arbitraires, et les différentielles dyK9 dy29 . . ., rfy,, sont liées par une relation nécessaire, en sorte que l'équation (6) peut être satisfaite sans que chacun de ses coefficients soit nul. Si en effet on déduit des équations (3) les valeurs de #i — #2i x% — #*>•••» Xn — #i> leur somme doit être nulle, el cette condition donne une relation entre j, , y2, . . . , yn. La relation correspondante entre dyt , dyt , . . . , dyn t s'obtiendra en ajoutant les différences dxt — dx2 , <£r2 — dx3 , . . . , rfr„ — ^r, , déduites des équations (5). L'équation ainsi obtenue est

(7) H, dyt-[-U,dy, -+- .-.. + H.<//-« = o,

OÙ

Xx*—~~X$ 3C\~—X2

H — •*» — ft r»-i— r»

L'équation (6) devant avoir lieu pour toutes les valeurs de dyt , dy2% . . . , dy„ , qui satisfont à l'équation (7), il est nécessaire et suffisant que Ton ait

, q . K i __ Kjj K3 __ K„

Telles sont les conditions nécessaires pour que la surface du polygone soit maxima. Il est facile de les interpréter géométriquement. Si l'on écrit en effet que les perpendiculaires élevées sur les milieux des côtés, {^u^yn) {vt*?*)* (tfoj'i) {x**y*)% \oc2,y%) [cDz,yz)y concourent en un même point, on retrouvera l'équation

Ki K3

et l'on voit aisément que l'équation continue (8) exprime que toutes les perpendiculaires élevées sur les milieux des côtés concourent en un seul et même point, et que par conséquent le polygone est inscriptible dans un cercle.

487. Cherchons, comme seconde application, le polygone de plus grande surface entre tous les polygones isopérimètres d'un nombre donné de côtés.

En désignant, comme dans la question précédente, les coordonnées des sommets

par xKy y,, x2ty9 , xn$y„, l'expression de la surface qu'il faut rendre maxima

est

(1) S = - [yt (.r„— - *,)-+- nf-r, — ■**)•+-. . ,-hrn(x„-l — xn)]y

et si l'on pose encore

a] = (xl — x2r^(yl—ytyj

la seule équation de condition donnée entre les 2/1 coordonnées est

(3) fl,+-tfa-4-. .. + <?„ = /,

d'où l'on déduit

(4) ûfa,H-rfrt,H-. . -\-dan = o,