LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

et par conséquent

*. MM'

(3) 9 = TTï7'

ou, ce qui revient au même,

(*> * -~"aMBr~r~aMM'

Si l'on nomme 9 l'angle formé par la normale MO avec les rayons vecteurs FM, FM, on a évidemment, en négligeant les infiniment petits du second ordre,

MM' cos 9 ~~ FM ' MM' cos 9 ~~ FM '

et par conséquent

tn\ i__cos9 / 1 1 \

(5) t ' p^-T-^fm+Fm]'

c'est-a-dire, en représentant les deux rayons vecteurs par & et ov,

i cos9 (1 , i\(3-h3')cos9

La somme c? et & étant égale au grand axe a a, cette formule devient

, . 1 a cos©

On peut facilement la transformer en une autre plus élégante. En nommant 2c la distance des foyers, on a

4c2 = 02-4-O,J— 2ÔÔ'C0S2<p=(ô-h3')'— 2Ôd'(l-hC0S29),

ou

4c2 = 4a5 — 4dô,cos29, d'où

coss ç cos2 9 6 désignant le petit axe; la formule (7) devient donc

m 1 a cos' y m

en nommant p le paramètre — > on a enfin

cos3 <p

Rayon de courbure de la cycloïde. — Soient AMS une cycloïde; MI, MT, deux

positions infiniment voisines du cercle générateur correspondant aux points M et M'. Les normales en ces points sont (14) MI, MT, et le centre de courbure est le point 0 où elles se coupent. En nommant p le rayon de courbure, et 0 l'angle des normales, on a, comme dans le cas précédent,

MM'

Or Tare MM' est double (20) de Tare de cercle ayant MI pour rayon, et dont l'angle au centre est précisément celui que forment les normales extrêmes de MM'. Le rapport d'un arc de cercle a son angle étant égal au rayon du cercle, l'arc MM' qui est double, étant divisé par le même angle, donnera un quotient double, et par conséquent le rayon de courbure de la cycloïde est double de la normale IM. •

506. Hayon de courbure dune roulette quelconque. —Considérons la courbe décrite par un point invariablement lié à une courbe mobile qui roule sans glisser sur une courbe fixe donnée.

Soient AOA' la courbe fixe, et BOB' la position de la courbe mobile, lorsque le

point de contact est en M.