LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

Cette formule est applicable a l'hyperbole et s'obtient par le même calcul dans lequel il suffit de changer b2 en — b2. Elle est applicable aussi a la parabole. Soit en effet

y2 — 2px= o

l'équation d'une parabole : on a

d(ù do

d'y rf*9 rfs9

5F-0' dï~dj~ °» dj> — 2'

et par conséquent

Up'-Hr')1 =(.r' + p')' 8/>» p>

La sous-normale étant égale à p, y* -+-/>* est égal au carré de la normale, et l'on a

Rayon de courbure de la cycloïde. — Les équations de la cycloïde sont

x = a(u — sinw)>

y = a ( i — cos u ) .

La formule la plus commode à employer est

[dx*-hdy*fi

dlydx — dyd2x ' elle donne après des réductions évidentes

p = — /La sin - m.

La normale, comprise entre la courbe et le point de contact du cercle générateur

avec la base, est égale à sasin - m; le rayon de courbure de la cycloïde est donc

double de la normale.

Rayon de courbure de la spirale logarithmique. — L'équation de la spirale logarithmique est

r=aem$;

on a, par conséquent,

dr d2r

ëfr l'expression (503) du rayon de courbure devient

r 2m2r- — /// r'-Hr1

le rayon de courbure est par conséquent proportionnel au rayon vecteur.

Détermination géométrique de quelques rayons de courbure.

505. La géométrie permet, dans un grand nombre de cas, de déterminer le rayon de courbure d'une courbe sans recourir aux formules précédentes. Il est souvent commode, pour cela, de recourir au théorème démontré (494), et de regarderie centre de courbure comme l'intersection de deux normales infiniment voisines. Nous donnerons quelques exemples de cette méthode.

Rayon de courbure de ï ellipse. — Soient F et F' les deux foyers d'une ellipse, et M le point de la courbe pour lequel on veut déterminer le rayon de courbure.

La normale en M est la bissectrice de l'angle FMF'. Soit M' un point infiniment voisin de M, la normale en M' est la bissectrice de l'angle FMF; le point 0, intersection des deux normales, est le centre de courbure, et l'on a, en nommant p le rayon de courbure, et 0 l'angle des deux normales,

MM'

(ï) P=-cT'

Or, en désignant, pour abréger, par F et F' les angles de la figure qui ont leurs sommets aux points désignés par ces lettres, on a rigoureusement