C = MO,M' — 0,M

mais

MO>M' = 00,(i- + ±).

Si l'on nomme <p l'angle formé par MO avec la normale ON, l'angle OaMO, sous lequel 002 est vu du point M, est égal à

OOjCoscp OM :

on a donc enfin

,™ / * « COS(p\

et par conséquent

0M-(rt)

MM

cos<p

Dans le cas où la courbe est engendrée par un point d'un cercle de rayon R,, roulant sur un cercle de rayon R2, on a

OM = 2R, coscp,

et la formule donne

0M(g+ir.)

p— ^ ^- = 2OM

±+± L aRi-+-R.

Ri R2 2K1

Le rayon de courbure est, par conséquent, proportionnel à la normale OM.

Si le rayon du cercle fixe devient infini, celui-ci se réduit a une ligne droite, et l'épicycloïde à une cycloïde; la formule devient alors

ce qui s'accorde avec le résultat obtenu (505).

Courbure des lignes orthogonales.

507. Lorsque l'équation générale d'une série de courbes contient un paramètre variable, le nombre des courbes qu'elle peut représenter est infini comme celui des valeurs que l'on peut attribuer au paramètre, et il est possible, en général, de déterminer celui-ci, de manière à faire passer la courbe correspondante par un point donné du plan que leur ensemble recouvre entièrement. A cette première série, quelles que soient les courbes qui la composent, en correspohd toujours une seconde, formée par, des lignes qui coupent les premières à angle droit, et que l'on nomme. leurs trajectoires orthogonales; de telles trajectoires existent toujours, car les courbes du premier système étant supposées tracées et recouvrant le plan, chaque trajectoire orthogonale est la ligne suivie par un point mobile qui dirigerait à chaque instant son mouvement, normalement à celle des courbes du premier système sur laquelle il est actuellement situé. Chacune de ces trajectoires étant déterminée par un de ses points, leur équation générale contient un paramètre arbitraire.