LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

Soient

?i(*>r)=ai,

les équations de deux systèmes de courbes orthogonales, a, et a2 étant les paramètres variables par rapport auxquels nous les supposons résolues : chaque point du plan peut être défini par les valeurs des paramètres a4 et a2 auxquelles correspondent les courbes qui s'y rencontrent, et ces deux paramètres peuvent remplacer les coordonnées orthogonales x et y. En adoptant ce système, si deux points infiniment voisins sont représentés par les paramètres an aa, 0L%-¥dah , a, -hrfa,', le carré de leur distance est de la forme

etl'ona(125)

ds* = Aârf a] -}- Atdal ,

A-/i*V*teV

Les courbes AA\ CC, qui se croisent au premier des points considérés, et les courbes BB', DD' qui se croisent au second, forment un rectangle PQ P, Q, , dont ds est la diagonale. Les côtés PP, , PQ sont les distances correspondantes à la variation d'un seul paramètre et ont pour expression, la première rfa, ^A, , et la seconde da2y/A2-

Nous poserons, pour éviter les radicaux,

doix

regardant t- et i- comme des quantités essentiellement positives: d'après cela, -£

représente la longueur PP, , distance des deux courbes infiniment voisines qui correspondent aux paramètres a, et a, -f-rfa, , et que nous désignerons par ds29 parce qu'elle est comptée sur la courbe qui correspond au paramètre a2 .

-~ représente de même la longueur PQ, distance des deux courbes représentées

par les paramètres a2, aa4- da2; nous la désignerons par dst.

Les fonctions A, et h2 font connaître la loi suivant laquelle varie la distance de deux courbes infiniment voisines; si ces courbes correspondent en effet aux paramètres a, et a, -hrfa,, en quelque point que l'on passe de l'une à l'autre, l'accroissement da{ sera constant, et le chemin à parcourir normalement est par conséquent

proportionnel à j—

508. Les rayons de courbure des deux courbes qui se croisent en un point s'expriment élégamment, au moyen des fonctions A,, h2 et de leurs dérivées.

Soient, en effet, AA', BB' deux lignes infiniment voisines correspondant aux paramètres a,, a, -h rfa0 et CC la ligne du second système qui correspond au paramètre a2, et dont nous voulons calculer la courbure au point P où elle coupe AA'.

Cette courbure est égale à l'angle de contingence formé par les tangentes aux points P et Q, divisé par la longueur ds2 de l'arc PQ. On a, d'après ce qui a été dit,

, rfa,

ds2 =. -j- •

Si donc on nomme £ l'angle de contingence, le rayon de courbure p2 est exprimé par la formule

p* dxi

Il reste à calculer g ; or cet angle est formé par les normales respectivement menées en P et Q aux courbes AA' et BB' que PQ coupe toutes deux à angle droit : soit PI la première de ces normales, et I le point où elle coupe la courbe BB'; la distance QI est infiniment petite du second ordre, et l'on peut, dans le calcul de l'angle 6, remplacer la normale en Q de la courbe B' par la normale en I qui forme