A, QQ, — PP

on a donc

mais

donc enfin

da2

rfa, da7

QQ, — PP, doLx da%

PP, =

i QQ, — PP,

p,~ PQ.PP,

La courbure de Tare PP, est égale à la différence des côtés opposés divisée par la surface du rectangle.

«Lorsque les lignes du second système sont droites, - est nul, et Ton a par conséquent QQ! =PP, ; on saiten effet que des courbes normales aux mêmes droites (85; interceptent sur deux quelconques d'entre elles des longueurs égales.

511. Les expressions trouvées pour les rayons de courbure conduisent à un théorème remarquable relatif à la loi de variation des courbures dans un système quelconque de courbes orthogonales.

Soient, comme au paragraphe précédent, AA', BB', CC, DD', quatre eourbes infiniment voisines formant le rectangle infiniment petit PQ P, Q,, et correspon-

dant aux valeurs a,, a, -h» dat, a», u3-hdai des deux paramètres.

Soit, en outre, p, le rayon de courbure de AA' et pt celui de CC' au point P; doLK etda2 étant supposés positifs, la figure est telle que, d'après nos conventions, pt etpa sont l'un et l'autre positifs.

Soit PT la tangente à AA' au point P, et 0 l'angle qu'elle forme avec l'axe des X positifs; on a, d'après nos conventions,

on aura de même

or on a

par conséquent

ou

l — — il— —h il

L —a de

02 ' d at

d*Q d'Q daxda7 da2cloc{

dr- dr-

doc, (la, '

ht doLy hx d a, p, dax pa da7

En multipliant cette équation par A, h29 en ayant égard aux valeurs de - et de - » elle devient

doLX da7 p, p,

-^ est l'arc infiniment petit PP, et -p l'arc PQ ; en les désignant par ds2 et par dsK on a enfin

di- di

ds* dsx p? p;

Cette équation a été découverte par M. Lamé.

Quoique la démonstration précédente fixe nettement le sens qu'il faut attacher

rfi dx-

aux quotients -^ > -P1 > il est peut-être utile de l'indiquer explicitement.

Ces quotients ne sont pas en effet des dérivées et ne peuvent évidemment pas en être, car il n'existe pas de variables $,, $2, dont p, et pa soient fonctions. Dans