LIVRE PREMIER. - ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES

tions composées. Or il peut arriver que, suivant le point de vue auquel on se place, une même fonction soit regardée comme simple ou comme composée : je citerai les fonctions sin x et cos x, que Ton regarde souvent et que nous regarderons nousmème comme des fonctions simples; on a cependant

cos x = ^i — sin2 x, $.r=sin ( x ) >

cos

et chacune de ces formules, exprimant cos x par des opérations où figure le signe sinus, permettrait de ne pas regarder le cosinus comme une fonction simple. Quoi qu'il en soit, nous considérerons comme fonctions simples, les fonctions : txf" (m étant entier), a*, log x, sija xf cos x et tang x. Nous chercherons d'abord leurs dérivées, puis nous ferons connaître des théorèmes généraux qui permettent d'en déduire celles de toutes les fonctions explicites.

26. Dérivée deaf.— L* première des fonctions simples qui se présente en algèbre est xm; c'est aussi la première fonction'-dont nous chercherons la dérivée, en supposant toutefois que l'exposant m soit entier et positif. La fonction oom9 lorsque l'exposant est fractionnaire, peut être regardée comme une fonction simple, mais il nous sera plus commode de ne pas le faire et de ramener ce cas plus général à celui où m est entier.

La dérivée de af est, par définition, la limite du rapport

{x-k-h)m — xm

lorsque h tend vers zéro; or cette fraction est égale, m étant entier, à

, mim — i '.

mhxm-y H h7 x*1-2 H- . . .

En effectuant la division par h9 puis supposant h = o, on voit que la limite de cette fraction est ma?1-* . Ainsi la dérivée de xm est mxm-% .

27. Dérivée de ax. — La dérivée de a* est, par définition, la limite du rapport

lorsque h tend vers zéro. On a évidemment

«r+A — ax=axiak— i).

La dérivée est donc la limite du rapport

Posons aA — i =a, et par conséquent aA= i -h*. Àloga = log i -ha); l'expression (A) devient

log i -4- a} ! J.

-log 'i -f-a» log( I -ha' *

Lorsque A tend vers zéro, a, qui est égal à a* — i , tend également vers zéro ; ( i -+- «>* a par conséquent pour limite la base des logarithmes népériens, habituellement désignée par e; l'expression (B) a donc pour limite a*p^, et par conséquent, la de-

/ïiw a<p a* «/ ax r-£L- • log<-

La base du système dans lequel on promîtes deux logarithmes est arbitraire et

n'influe pas sur leur rapport qui figure seul dans l'expression. Lorsque. a est égal

a e, le rapport des logarithmes devient l'unité, et la dérivée de c* est e*.

28. Dérivée de log x. — La dérivée de la fonction log x est, par définition, la limite du rapport °^[X — *'— -0R-~, lorsque h tend vers zéro.

On a

l0g [£+*)- klffX l0g(l4"i)

Posons - = a, h=ax; cette expression devient

log(n-*ï i . -