LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. r

mune, et se trouve par conséquent soumis à des exceptions relatives au cas où ce développement n'est pas possible. Il peut arriver dans ces cas exceptionnels que deux courbes aient un contact d'ordre fractionnaire. Soient par exemple les courbes représentées par les équations

il est clair qu'à l'origine elles sont toutes deux tangentes à Taxe des 7 ; Tordre de leur contact est inférieur d'une unité à l'ordre de grandeur d'une parallèle à l'axe des x comprise entre les deux courbes et menée à une distance infiniment petite du premier ofdre de Porigine; on verra facilement que cette parallèle est infiniment

petite de l'ordre |> en sorte que les deux courbes- ont un contact de l'ordre \-

Courbes osculatrices .

539. Lorsque l'équation d'une courbe contient un certain nombre de coefficients arbitraires, on peut se proposer de déterminer ces coefficients de manière à établir entre cette courbe et une courbe donnée, un contact d'un ordre aussi élevé que possible.

L'existence d'un contact de l'ordre n est exprimé par (/i + 1) équations, l'ordre de contact sera donc en général inférieur d'une unité au nombre des paramètres dont on dispose. La courbe ainsi déterminée par la condition d'avoir, en un point donné, le contact de l'ordre le plus élevé possible, est dite courbe osculatrice. Ainsi, par exemple, l'équation générale des sections coniques contenant cinq paramètres arbitraires, la section conique osculatrice d'une courbe, en un point donné, a avec elle un contact de quatrième ordre, le contact de la parabole osculatrice est de troisième ordre, et celui du cercle oscillateur du second seulement. La droite osculatrice est la tangente; son contact est du premier ordre.

Cercle oscttlatvur.

540. Le cercle osculateur d'une courbe ne diffère pas du cercle de courbure. Pour le démontrer, il suffira de chereber l'expression de son rayon. Soit

l'équation du cercle. 11 doit avoir un point commun avec la courbe, el. en ce point, fournir les mêmes valeurs qu'elle pour V et i '|f« Or l'équation (1) donne

par la différentiation

*tr-«g+(2)«

Ces équations doivent être satisfaites, d'après ce que nous avons dit, en y considérant y, -7- -i -j-£ comme déduits de l'équation de la courbe, et relatifs au point particulier que Ton considère. On en déduit

x — a= tl »

Le cercle osculateur a par conséquent même rayon que le cercle de courbure, et se confond avec lui.

541 . On a vu (496 ) que le cercle de courbure d'une courbe la traverse au point où il la touche; nous aurions pu conclure immédiatement de cette remarque que son contact avec la courbe est (535) d'un ordre supérieur au premier, et qu'il est, par conséquent, le cercle osculateur.

L'identité du cercle de courbure avec le cercle osculateur peut aussi se conclure du résultat obtenu (521). Si sur une courbe, à partir d'un point quelconque M, on porte un arc infiniment petit MM' égal à <7, la distance de l'extrémité M' au cercle de courbure en M est égale, en négligeant les infiniment petits du quatrième ordre, à

1 ' 6 ds '

elle est par conséquent infiniment petite du troisième ordre, et la courbe a (534, un contact du second ordre, avec ce cercle qui est par conséquent osculateur.

point où -T- est nul, le terme du quatrième ordre disparût en même temps