LIVRE TROISIÈME - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

La distance du cercle à la courbe ne peut s'abaisser au quatrième ordre que si

dl- Texpression (i) est nulle, c'est-à-dire si l'on a -^ = o. Cette condition est remplie pour les points où la courbure est maxima ou minima. En ces points, le contact de la courbe avec le cercle est, en général, du troisième ordre, et le cercle de courbure est, dans le voisinage de ces points, intérieur ou extérieur a la courbe que, dans ce cas, il ne traverse pas. Il pourrait arriver cependant qu'au

dx

ds

dans l'expression de la distance de la courbe à son cercle osculateur; le contact étant alors du quatrième ordre, le cercle traverserait la courbe : il est aisé de voir que cela a lieu lorsque la dérivée de la courbure par rapport à Tare est nulle, sans que celle-ci devienne maxima ou minima.

1. Si des points d'une courbe plane on abaisse des perpendiculaires sur Tune des tangentes, et que par le pied de chacune d'elles on mène une droite proportionnelle à la longueur de cette perpendiculaire et parallèle à une direction fixe, le lieu des extrémités d'une telle droite est une courbe qui a même tangente que la proposée au point qui leur est commun. Trouver, en ce point, le rapport des rayons de courbure.

2. Si Ton mène par chaque point d'une courbe une droite de longueur donnée faisant un angle constant avec la normale, la normale à la courbe, lieu des extrémités de cette droite, passe par le centre de courbure de la proposée.

3. Si Ton mène la tangente en un point d'une courbe représentée par l'équation

puis une série de cordes parallèles à cette tangente, le coefficient angulaire de la tangente à la courbe, lieu des milieux de ces cordes, est au point où cette courbe coupe la ligne donnée

4. Le rayon de courbure de la développée d'une courbe est triple de la portion de normale à la développée, comprise entre son point de départ et son intersection avec la tangente au diamètre dont la direction a été définie dans l'exercice précédent.

5. Si l'on considère, sur une série de courbes parallèles, les points correspondants situés sur une même normale,» les tangentes aux courbes diamétrales passant par ces différents points vont concourir en un même point.

6. Si Ton nomme r le rayon vecteur mené d'un pôle fixe au point d'une courbe plane, et y? la distance de ce pôle à la tangente, le rayon de courbure p a pour expression

dr

7. Le lieu des centres des ellipses dont les axes ont une direction donnée, et qui ont en un point donné un contact du second ordre avec une courbe donnée, est une hyperbole équiiatère passant par ce point.

8. Le lieu des foyers des paraboles qui, en un point donné, ont un contact du second ordre avec une courbe donnée, est un cercle. La courbe enveloppe des axes de ces mêmes paraboles est du quatrième degré; elle a trois points de rebroussenient, et touche en trois points le cercle lieu des foyers.

9. Si d'un point O on abaisse des perpendiculaires sur les tangentes à une courbe plane, en nommant r la distance du point 0 à un point de cette courbe, p la longueur de la perpendiculaire abaissée sur la tangente, p le rayon de courbure de la courbe donnée, et p' celui de la courbe lieu des pieds des perpendiculaires, on a