LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

aussi un paramètre arbitraire, et chaque point de la sphère pouvant être défini par les valeurs des paramètres correspondants aux courbes qui s'y croisent, ceux-ci forment un système de coordonnées curvilignes dont l'emploi peut être utile dans certains cas.

Nous allons étudier la loi de variation des courbures géodésiques de deux systèmes de courbes se coupant orthogonalement sur la sphère. Nommons a, le paramètre dont la valeur caractérise les courbes du premier système, et «2 celui qui correspond au second système.

Soient AA\ BB' deux courbes infiniment voisines du premier système, eorrespondantauxvaleursaj.aj-hrfa, du paramètre a, qui figure dans leur équation générale, et CC, DD' deux courbes infiniment voisines du second système, correspondant aux valeurs a2, a2 -4- da2 de leur paramètre, et formant avec les deux premiers un rectangle infiniment petit PRQS; le côté PR, distance de deux points

infiniment voisins qui correspondent a une même valeur de a< est évidemment proportionnel àrfaa, et le côté PQ à rfa,. Posons donc, en désignant par A, et h2 des fonctions de a, et de a2, que nous regarderons comme connues,

PR=^!?, PQ=^l.

Le calcul de hK et de h2 dans chaque cas particulier se fera d'ailleurs facilement, car en considérant les variables a, et a2 comme formant un système de coordonnées, la distance de deux points infiniment voisins quelconques tels que P et S, qui correspondent aux coordonnées a,, a2, a,H-rfa,, a2-+-rfa2, est évidemment

"S - li\ + h\ '

et il suffira par conséquent de calculer cette distance, comme il a été dit (123), pour connaître A, et h2 que nous regardons tous deux comme essentiellement positifs.

La courbure - de la ligne PQ est égale à l'angle de contingence formé par les arcs

de grand cercle tangents en P et Q, divisé par la longueur ds2 de cet arc PQ. Or on a,

r*8 PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL,

d'après la notation adoptée,

ds2 = -T- .

Si donc on nomme t l'angle de contingence, la courbure - est donnée par la formule

p2 doLx '

il reste a calculer e : or cet angle est formé par les arcs de grand cercle normaux respectivement menés en P et Q aux courbes AA' et BB' que PQ coupe toutes deux h angle droit. Soit PI le premier de ces arcs, et I le point où il coupe la courbe BB', la distance QI est infiniment petite du second ordre, et Ton peut, dans le calcul de l'angle s, remplacer le grand cercle normal en Q par le grand cercle normal en I, qui forme avec lui un angle infiniment petit du second ordre; e est, d'après cela, le complément de l'angle sous lequel le grand cercle PI coupe la courbe BB': or on sait (553) que si en chaque point d'une courbe sphérique on élève un arc de grand cercle- normal, et que l'on porte sur lui une longueur constante/, le lieu des extrémités coupe à angle droit tous ces grands cercles normaux à la courbe donnée: on en conclut que si la longueur / portée sur chaque grand cercle varie d'un point à l'autre, un élément do de la courbe obtenue, dont les extrémités correspondent aux longueurs / et / -f- dl, portées sur deux grands cercles voisins, formera,

avec les grands cercles, un angle dont le cosinus est j : dans le cas de deux courbes infiniment voisines qui nous occupe ici, l'élément do peut être remplacé par l'élément correspondant ds de la courbe AA' qui n'en diffère que d'un infiniment petit du second ordre, et l'angle infiniment petit 6, que l'on peut remplacer par le cosinus de son complément, a pour expression y- ; /est ici la dis—

doL tance PI égale, nous l'avons dit, à -y-^ et dl est l'accroissement correspondant à

un changement infiniment petit de a2; on a donc

a(=. — -j «aj= a<X\ doL* — ) — — •

doLi a a,

Le dénominateur ds{ du quotient -r- est d'ailleurs l'arc infiniment petit de AA', correspondant à l'accroissement da2 du paramètre, et l'on a