LIVRE PREMIER. - ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES

Or on a

. , ,x . a sin- cos ( x+- )

sin(# + A) — sinar 2 \ 2/

h =* Il '

.A sin -

et en remarquant qu'en vertu d'un théorème bien connu» —r- a pour limite l'unité

lorsque h tend vers zéro, on voit que le second membre a pour limite cos a; et la dérivée de sin x est cos x.

30. Dérivée de cos x. — La dérivée de cos x est, par définition, la limite du

rapport

cos (.r 4- A) — COS.T h Or on a

cos [x -+- A) — COS.T

. A . / A\ 2 sin - sin I x -+■ -

. A 2 sin -

— -f — ayant pour limite l'unité, cette expression a évidemment pour limite — sinar, et la dérivée de cos x est — sin x.

31 . Dérivée de tang x. — La fonction tang x étant égale au rapport * on

COSJC

pourrait ne pas la mettre au nombre des fonctions simples, mais on peut aussi obtenir directement sa dérivée de la manière la plus facile. Cette dérivée est, par définition, la limite du rapport

langg+tangA ^

tang (x -+- A) — tangjr __ 1 — langer tang A tang A (i-f- tang8 x)

A ~~ A A (1 — tang x tang A)

et comme, A tendant vers zéro, nj* a pour limite l'unité, cette dernière expression tend vers 1 -h tang2 x9 c' est-a-dire vers — — > et la dérivée de tang x est

cos'a:

Dérivées des fonctions inverses.

32. Lorsque deux variables sont liées par une équation, chacune d'elles peut être considérée comme fonction de l'autre. Si l'on a, par exemple,

on peut concevoir cette équation résolue par rapport à y et mise sous la forme

le signe ç désignant une fonction que Ton nomme fonction inverse dé celle q,ui est désignée par le signe <|i. D'après cela, si Ton prend une fonction quelconque d'une variable, puis la fonction inverse du résultat, les deux opérations se détruisent et Ton retombe sur la variable elle-même. Ainsi, en admettant les notations précédentes, on a

Exemples. — Si l'on a on en conclut

x =jr\

La racine carrée est donc la fonction inverse du carré; il est clair d'ailleurs que les

deux opérations se détruisent lorsqu'on les effectue successivement.

Si l'on a

x = er9 9

on en déduit

Le logarithme est donc la fonction inverse de l'exponentielle. On a d'ailleurs, conformément à la remarque générale,

33. Connaissant la dérivée d'une fonction, on peut trouver celle de la fonction inverse. Soit x une fonction de y définie par l'équation

Supposons que l'on déduise de cette équation

La dérivée <p' (y), de x par rapport à j, est la limite du rapport de l'accroissement de x a l'accroissement correspondant de y. Si donc, pour nous servir d'une notation qui sera souvent employée, on nomme &x l'accroissement de x, et Ar

l'accroissement correspondant de y, la dérivée 9' (y) est la limite du rapport — •

La dérivée ty'(x), dey par rapport a x, est la limite du rapport de l'accroissement de y a l'accroissement correspondant de #, c'est-à-dire--"-' et comme les va-

.tt PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

dès lors que l'expression générale de leur dérivée doit avoir le signe ±:. Si d'ailleurs on considère en particulier l'un des arcs compris parmi ceux que représente l'expression arc sin x, la détermination du signe de la dérivée sera toujours facile. En posant, en effet,

jr = sin vv

la dérivée de y par rapport à x est — — » et il n'y a dans cette expression aucune ambiguïté. Le signe ±. se présente seulement lorsqu'on remplace cos y par ±i v'i — #2» et l'on voit que le signe du radical doit être celui de cos v. De même.

en posant

x z= eus r,

on a

v=areeus.r.

et la dérivée de vpar rapport à a- est : — i c'est-à-dire -7^— ? le si«ne de l'ex-

pression étant contraire à celui de sin v.

En posant

xc= lang v.

on a

y = arc langx.

Donc la dérivée de y par rapport à ,r est

tus- y = ■-■ - •

Ici il n'y a pas d'ambiguïté, et cela tient a ce que les airs qui ont mènie tangente avant pour expression générale Kn -f- a, ils différent les uns des autres par une partie constante, et ont tous même dérivée.

35. La considération des fonctions inverses permet de déduire Tune de l'autre les dérivées des fonctions ax et log .r, qui ont été trouvées séparément. ]

Si Ton a I

x=a-\ on en déduit

y= log.r.

Par conséquent la dérivée de log a; par rapport à .r-est l'inverse de celle de ar par rapport à y, c'est-à-dire, les logarithmes étant pris dans la base a.

loge ___ lofjf