LIVRE PREMIER. - ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES

Dérivées des fonctions de fonctions.

36. Si la lettre u désigne une fonction donnée de la variable xf toute fonction de u sera une fonction de x que l'on désigne soflS le nom de fonction de fonction. L'origine de cette dénomination s'aperçoit immédiatement.

Ainsi donc si Ton a

y considéré comme dépendant de x est une fonction de fonction.

Nous allons montrer que si les fonctions 9 et F sont de telle nature qu'on sache former leurs fonctions dérivées, on pourra trouver aussi la dérivée de y par rapport à x.

Supposons, en effet, que Ton donne à x un accroissement Ax et qu'il en résulte

pour u un accroissement lu, pour y un accroissement Aj\

on a identiquement

bx \x lu

en passant à la limite, Aa? tendant vers zéro, le premier membre de cette équation a, par définition, pour limite la dérivée dej par rapport à x, et les deux facteurs du second membre tendent respectivement vers la dérivée de u par rapport a a\ et vers celle de y par rapport à u. En désignant donc ces deux dérivées par 9' {x) et par F' ( u), on voit que la dérivée dey par rapport à x est

résultat que Ton peut énoncer de la manière suivante :

La dérivée d une fonction de fonction est le produit des dérivées des fonctions simples qui servent à la former, prises chacune par rapport à la variable dont elle dépend immédiatement.

Exemples. — Soit la fonction y = cos x = sin ( - — x \ • Cette expression peut être considérée comme une fonction de fonction. En posant, en effet,

ÎT

X=ll9

on aura

y = sin u. 1. 5

3i PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

L'application de la règle générale donne pour la dérivée de y par rapport à oc

( — i) cos u = — sin x%

résultat conforme à ce qui a été trouvé (30).

Soit la fonction y = cota? = tang (- — xy En posant

X=Uy

on aura

r=tangtt.

L'application de la règle donne pour la dérivée dey

(-,)-±- = -Ti-.

v ' cos'k sin'x

Soit encore la fonction \x%. Posons

y=\u, L'application de la règle donne pour la dérivée de y

u ~~ «rs ~~~ x '

et, en effet, La?* étant égal à 51a;, il est clair que sa dérivée doit être égale à cic fois celle de La?.

37. Comme dernier exemple, forcions la dérivée de la fonction y= xn, m et désignant des nombres entiers. Cette fonction peut être considérée comme un fonction de fonction. En posant, en effet,

xn = u, on aura

y = um.

En appliquant la règle générale et se rappelant les résultats obtenus (26), (34), o trouve pour la dérivée de y

I m — il m

y z=mu*~y -xn ~—x n xn = — xn » n n n

et par conséquent la dérivée de xn s'obtient parla même formule que lorsque l'ex posant — est entier.