PLAN OSCULATEUR DUNE COURBE A DOUBLE COURBURE

Définition du plan oscillateur.

562. Une ligne dont tous les points ne sont pas situés dans un même plan se nomme courbe à double courbure; elle a, en chaque point, une tangente qui, dans le voisinage du point de contact, s'en écarte infiniment moins que toute autre droite partant du même point. En portant son attention sur cette propriété caractéristique de la tangente, on est conduit à se demander si, parmi tous les plans qui passent par un point donné d'une courbe, il en est un qui s'écarte d'elle infiniment moins que tous les autres. Ce plan existe toujours; on le nomme plan oscillateur de la courbe au point considéré.

Soient en effet M un point quelconque d'une courbe à double courbure, et M' un point infiniment voisin pris sur la même courbe. Si nous regardons MM' comme infiniment petit du premier ordre, il est aisé de voir que la distance du point M' à tout plan passant par le point M, et qui ne contient pas la tangente, est infiniment petite du premier ordre. Un tel plan forme en effet avec MM' un angle fini, et sa distance au point M', égale au produit de MM' par le sinus de cet angle fini, est évidemment de même ordre que MM'.

Lorsque le plan considéré contient la tangente MT en M, il forme avec MM' un angle infiniment petit, et sa distance au point M' est infiniment petite par rapport

à MM', et elle est, en général, du second ordre; on sait en effet ( 10; que la distance du point M' à la tangente MT est du second ordre, et la distance du même point M' à un plan passant par MT est égale au produit de cette perpendiculaire M' P par le sinus de l'angle formé par le plan avec la ligne M'P; elle est donc du second ordre comme M' P, toutes les fois que le plan considéré forme avec cette ligne un angle fini, et pour qu'elle soit d'un ordre supérieur au second, il faut que le plan forme avec M'P un angle infiniment petit, et qu'il soit, par conséquent, la limite du plan passant par la tangente MT et par le point M'.

Le plan oscillateur en un point M est, d'après ce qui précède, la limite du plan <|ui |iasse par la tangente en M, et par un point M' de la courbe, infiniment voisin de M. On peut dire plus brièvement et tout aussi correctement : le plan osculateur d'une courbe, en un point, est le plan qui passe par la tangente et parle point infiniment voisin de la courbe. In point infiniment voisin de M est, en effet (13;, un point mobile qui se rapproche indéfiniment du point M, et le "plan qui le contient est la limite du plan qui passe par un point de plus en plus rapproché.

503. Le plan osculateur en un point d'une courbe peut être considéré comme la limite du plan mené par la tangente en ce point, parallèlement à la tangente infiniment voisine.

Pour démontrer l'accord de cette définition avec la précédente, projetons la courbe sur un plan perpendiculaire à la tangente au point considéré M: soient? la

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projection du point M, P' celle du point M'. La trace du plan mené par la tangente en M et par le point M' est PP\ celle du plan mené par MP parallèlement à la tangente en M' passe par le point P, et est parallèle à la projection de cette tangente, c'est-à-dire a la tangente de la courbe PP' au point P' ; ces deux traces ont évidemment pour limite commune la tangente en P à la courbe PP', et les deux définitions du plan osculateur sont par conséquent d'accord.

La démonstration précédente pourrait conduire, très-naturellement, à une conséquence inexacte qu'il importe de signaler, pour montrer avec quelle réserve on doit procéder dans l'étude des questions relatives à Tordre des infiniment petits. 1/arc MM' de la ligure précédente étant considéré comme du premier ordre, l'arc PP' de la projection est du second ordre, et comme, en général, la distance de l'extrémité d'un arc infiniment petit à la tangente menée par l'autre extrémité est de même ordre que le carré de cet arc, la distance du point P' à la tangente en P de la courbe PP' semble devoir être du quatrième ordre. Cette distance étant évidemment celle du point M' au plan osculateur en M, nous sommes conduits a admettre que le plan osculateur en un point 'M est à distance infiniment petite du quatrième ordre du point M' infiniment voisin de M et situé sur la courbe; mais cette conclusion est inexacte, la distance du point M' au plan osculateur en M est du troisième ordre