LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. KIW

seulement, comme il sera démontré plus loin. Le raisonnement qui lui assigne une valeur du quatrième ordre manque de rigueur, parce qu'on applique au point P de la courbe PP' la règle générale relative à un point quelconque d'une courbe, taudis que ce point est un point singulier où la courbe présente évidemment un rebroussement et a une courbure infinie.

564. En ne tenant pas compte de la possibilité des cas exceptionnels, ou serait également conduit par la figure précédente à une conclusion erronée, relativement à la distance de deux tangentes infiniment voisines.

La plus courte distance des tangentes en M et en M' est égale en effet à la distance du point P à la tangente en Pf de la courbe PP'. Cette distance semble devoir être de même ordre que le carré de PP', c'est-à-dire du quatrième ordre. Il n'en est rien pourtant; elle est, ainsi que nous le verrons, du troisième ordre, et le raisonnement manque de rigueur, comme le précédent, parce que le point P est dans la courbe PP' un point singulier où la courbure est infinie.

565. On définit quelquefois le plan osculateur d'une courbe comme contenant troia points infiniment voisins de la courbe. Nous allons montrer l'accord de cette définition avec les deux précédentes.

Soient M, M', M" trois points infiniment voisins d'une courbe, dont nous regarderons les distances comme des infiniment petits du premier ordre; il faut prouver

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que le plan qui passe par ces trois points a même limite que celui qui contient la tangente MT en M, et le point M'. Les deux plans se coupent en effet suivant MM', et s'ils formaient un angle fini, le point M" étant situé sur l'un d'eux à distance infiniment petite du second ordre de l'intersection, serait à distance infiniment petite du second ordre de l'autre; or, c'est ce qui n'a pas lieu, car la distance du point M" au plan osculateur en M est d'ordre supérieur au second, et si l'on fait tourner ce plan osculateur d'un angle infiniment petit autour de MT, pour le faire coïncider avec TMM\ la variation de la distance a M¥ est évidemment d'ordre supérieur au second. 1! est donc impossible que les plans TMM', MM'M" forment un angle fini; ils se confondent par conséquent à la limite.

566. Lorsque, dans l'étude d'une figure, on veut porter son attention sur les directions des lignes droites qui s'y trouvent, sans avoir égard à leur position absolue dans l'espace, il est commode de leur substituer des parallèles menées par un

m) PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL,

point arbitraire de l'espace; pour étudier le faisceau formé par ces parallèles, on peut ensuite les couper par une sphère de rayon unité, ayant son sommet pour centre; à chaque direction correspond de cette manière un point de la sphère. Les droites parallèles à un même plan correspondent aux divers points d'un grand cercle que Ton peut considérer comme représentant ce plan, en même temps, bien entendu, que tout autre plan parallèle.

Si l'on applique ce mode de représentation, souvent adopté parGauss, aux tangentes d'une courbe à double courbure, chacune d'elles sera représentée sur la sphère par un point, et la courbe continue, lieu de ces points, a été nommée par M. Paul Serret l'indicatrice sphérique de la proposée.

L'indicatrice sphérique faisant connaître les directions des tangentes, sans rien apprendre sur leur position absolue, elle ne suffit pas pour déterminer la courbe qui lui correspond. Ainsi, par exemple, si l'indicatrice sphérique d'une courbe est un grand cercle, la courbe correspondante est une courbe plane quelconque ayant son plan parallèle à celui de ce grand cercle. La considération de l'indicatrice est par conséquent insuffisante à l'étude complète d'une courbe, mais elle peut, comme nous allons en donner des exemples, simplifier notablement la démonstration de plusieurs théorèmes importants.

11 est facile devoir, d'abord, que l'indicatrice sphérique d'une courbe peut servir à déterminer les plans osculateurs de celle-ci. Le plan osculateur est, en effet, la limite du plan parallèle à deux tangentes infiniment voisines, et celui-ci étant, évidemment, parallèle au plan du grand cercle qui réunit les points de l'indicatrice correspondant à ces tangentes, il a pour limite un plan parallèle à celui du grand cercle tangent à l'indicatrice sphérique.

Les plans osculateurs d'une courbe sont donc parallèles aux plans des grands cercles tangents à l'indicatrice sphérique.

L'angle de deux plans osculateurs menés en des points infiniment voisins est, d'après cela, la courbure de l'arc infiniment petit d'indicatrice sphérique correspondant (545). On en conclut qu'en négligeant les infiniment petits du second ordre, cet angle est double de l'angle formé par l'un des plans osculateurs avec le plan meué par l'une des tangentes et parallèlement a l'autre.

Soit, en effet, PP' un arc infiniment petit d'indicatrice sphérique, le grand cercle PP' qui lui sert de corde a son plan parallèle aux deux tangentes de la proposée qui correspondent aux points P et P\ et les angles qu'il forme avec les grands cercles tangents en P et en P' sont (548; moitiés de l'angle formé par ces deux grands cercles.

567. Le plan osculateur d'une courbe forme avec la tangente au point infiniment voisin, un angle infiniment petit du second ordre.