LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

N désignant une constante. L'équation (7) représente un plan dans lequel est située la courbe, lieu des points ac, y, z.

Équation du plan osculateur.

574. Les équations d'une courbe étant connues, il est facile de trouver celle du plan osculateur en un de ses points. Soient oc, y, z9 les coordonnées du point considéré; r, w, v, celles d'un point quelconque du plan osculateur: celui-ci, passant par le point x, y% z, a une équation de la forme

Pour déterminer A, B, C, exprimons que la distance de ce plan au point M' de la courbe infiniment voisin de M, est un infiniment petit du troisième ordre; en nommant x-hàx, j-t-Aj, z-h&z les coordonnées de ce point M', sa distance au plan a pour expression

XAx 4- BAy 4- CAz

V^-f-B'-hC1

et comme A, B, C sont des quantités finies, il suffit d'exprimer que le numérateur est nul quand on néglige les infiniment petits d'ordre supérieur au second. On a, dans cette hypothèse (276),

Ax = dx-\ — d*x,

(2) Ay = dy-t--d7y,

Az = dz-{- - d7z.

On doit donc avoir, pour que les termes du premier ordre disparaissent,

(3) \dx + hdy-hCdz = o,

et pour qu'il en soit de même de ceux du second,

(4) Ad'x + Bd'y-hCd2z = o.

On déduit des équations (3) et (4)

(5) A .= B = C dyd'z — dzd*y dzd2x — dxd*z • dxdiy — dyd2x'

A, B, C peuvent être remplacés dans l'équation (1) par les expressions auxquelles

JT-

ils sont proportionnels, et l'équation du plan osculateur est, par conséquent,

(6) (/ — x)(dyd2z — dzd2y)-+-(u — r){dzd2x — dxd2z)-h(v — z)(dxd2y— dyd'x) = o.

Le choix de la variable indépendante, qui reste arbitraire, exerce évidemment une influence sur les termes de cette formule, mais sans rien changer toutefois au résultat final.

575. Pour donner une application de la formule précédente, nous chercherons le plan osculateur de l'arête de rebroussement d'une surface développable donnée : nous savons (571 ) que ce plan est précisément le plan tangent de la surface, et ce résultat connu, obtenu de nouveau à l'aide de nos formules, leur servira de confirmation.

Soit

(i) " xy[*)-¥-xty(x)-hzT(a) = ni(*)

l'équation d'un plan mobile dans laquelle a désigne un paramètre variable; la surface développable, enveloppe de ce plan, est représentée par l'équation (i) combinée avec sa dérivée par rapport à a,

et l'arête de rebroussement de la surface par les deux équations (i) et (2) auxquelles on adjoinjk l'équation

(3) ^?"(«)4-rf(«)+^"(«)=^(«).

dérivée de la seconde par rapport à a.

Pour trouver le plan osculateur de la courbe représentée par les équations (1), (a), (3), il faut déduire de ces équations, dxf dy, dz, d2x9 d2y, d2z, afin de les substituer dans l'équation du plan osculateur. En différentiant deux fois l'équation (1), les termes qui proviennent de la variation de a disparaissent à cause des équations (1) et (3), et l'on a

dxy{a)-\-dyty{a)-\-dzF{a) = o, d>xy(a)-t-d\rty(<z)-hd'zF(a) = o ; on en conclut

dxd2y — dyd2x dyd2z — dzd2y dzd2x — dxd2z

et l'équation du plan osculateur est par conséquent