LIVRE TROISIÈME. -APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

Les équations de deux droites voisines étant, en effet,

x = az -f- p, y=bz-hq,

x = (a-h&a)z-hp-hAp, y = ( b -t- A b ) z ■+- q -h A g ,

leur plus courte distance est, d'après les formules de la géométrie analytique,

Atf Ag — A&A/?

s/{bay + (bb)*-h(a&q — 6A/>)'

le dénominateur est toujours du premier ordre, le numérateur, en général, du second, et par conséquent la plus courte distance est, en général, du premier ordre, et il n'existe pas de courbe à laquelle soient tangentes les droites données.

Mais le numérateur de la plus courte distance peut, dans certains cas, être infiniment petit d'ordre supérieur au premier, et les droites sont alors tangentes a une même courbe. Nous allons prouver que, dans ce cas, il est précisément du quatrième ordre, et que, par suite, la plus courte distance est du troisième.

On a en effet (276)

Ai = db + - rf'6 + È d>b -h. . . ,

Aq = dq-h^d>q+çd>q-h..., et par conséquent,

AtfA^f — AbAp = (dadq — dbdp)-h ~(d2adq-\-d2qda — d7bdp — d2pdb)-h. . .,

les termes que l'on n'écrit pas étant d'ordre supérieur au troisième; or il est clair que le second terme du second membre est la différentielle du premier. Si donc celui-ci est nul, l'autre l'est également, et il ne reste dans l'expression du premier membre que des termes du quatrième ordre au moins. Il est aisé de prouver en outre que le terme du quatrième ordre ne disparait jamais, si ce n'est dans le cas des courbes planes, où la plus courte distance de deux tangentes est rigoureusement nulle; les termes du quatrième ordre sont, en effet,

^{diadq-hdiqda^dibdp — dipdb)-hj(d7adiq — d3bdip).

Supposons que leur somme soit égale à zéro; on a, par hypothèse,

(2) d*adq-hd'qda — d*bdp — d'pdb = oy qui donne par la différentiation,

(3) d3adq-\-diqda — d*bdp — dipdb = zd2bd*p—id*ad2q.

D'après cela, la condition pour que la somme des termes du quatrième ordre soit nulle est

d2ad2q — d>bd>p = o, ou

(4) d^ djq u; d'à d'b

Cette équation exprime que la courbe est plane. Les équations (3) (572) donnent en effet par la différentiation

d7p — — zd2a — dadz, d*q = — zd*b — dbdz,

et l'équation (4) devient ainsi

d\a d*b da ~ db' ou

d.lda = dldby

lin

Ida et Idb ont par conséquent une différence constante, et le rapport -rr est constant. En le désignant par k, on a

da = hdb , donc

/ étant une constante.

Cette équation exprime que les droites sont parallèles à un même plan, et il est clair qu'elles ne peuvent alors être tangentes à une courbe que si elles sont situées dans un seul et même plan. C'est ce que Ton peut d'ailleurs prouver analytiquement en remarquant que dx, dyeldz sont proportionnels à a, b et i, et que l'on a par conséquent

(ti) dx = kdy+ldz<

d'où l'on déduit

(7) x = ky-hlz-t-X,