LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

sphérique soit constante; sa développée, dont un arc quelconque a une longueur nulle (553), se réduit alors à un point, et l'indicatrice est un petit cercle de la sphère. La condition nécessaire et suffisante pour qu'il en soit ainsi est que toutes les tangentes à la courbe donnée fassent des angles égaux avec une droite fixe, et que celle-ci soit par conséquent une hélice tracée sur un cylindre dont les génératrices sont parallèles à la droite fixe.

Le rapport des deux courbures d'une hélice est donc constant, et cette propriété appartient exclusivement aux hélices tracées d'ailleurs sur un cylindre à base quelconque.

Cercle de courbure.

582. Le cercle de courbure d'une courbe en un point est un cercle situé dans le plan osculateur, touchant la courbe au point considéré, et ayant en ce point une courbure égale à la sienne, et de même sens.

On peutdémontrer, d'après cette définition, que le cercle de courbure d'une courbe en un point est celui de la courbe plane, projection de la courbe donnée sur son plan osculateur en ce point. Lorsqu'on substitue, en effet, à une courbe sa projection sur son plan osculateur, les deux termes infiniment petits du rapport qui mesure lu courbure subissent des variations infiniment petites d'ordre supérieur au premier, et par conséquent négligeables. Les parallèles à deux tangentes infiniment voisines et la projection de l'une d'elles sur le plan osculateur correspondant à l'autre, forment, en effet, un trièdre dans lequel la différence de deux faces est moindre que la troisième; or deux des faces sont ici les angles de contingence dont nous parlons, et la troisième est l'inclinaison d'une tangente sur le plan osculateur infiniment voisin, et par conséquent (567) du second ordre. On voit tout aussi facilement que la corde d'un arc infiniment petit, et celle de la projection de cet arc sur le plan osculateur à l'une de ses extrémités, ont une différence moindre que la distance de ce plan osculateur a l'autre extrémité de l'arc, et, par conséquent, du troisième ordre tout au plus; chaque arc différant de sa corde d'un infiniment petit du troisième ordre, on en conclut que la différence des arcs est aussi du troisième ordre.

La projection d'une courbe sur son plan osculateur en un pointa donc, en ce point, même courbure, et par conséquent même cercle de courbure que celle-ci.

Cercle osculateur.

583. Le cercle de courbure d'une courbe à double courbure en est, en même temps, comme celui d'une courbe plane, le cercle osculateur, c'est-à-dire qu'il s'approche de la courbe, dans le voisinage du point de contact, infiniment plus que tout autre cercle passant par le même point.

61 i PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

Si l'on porte en effet sur une courbe, à partir de son point de contact M avec le cercle de courbure, un arc infiniment petit du premier ordre MM', la distance du cercle à l'extrémité M' de cet arc est infiniment petite du troisième ordre. Le cercle de courbure étant en effet, d'après ce que nous avons dit, cercle osculateur de la projection de la courbe sur le plan osculateur en M, sa distance à la projection du point M' sur ce plan osculateur est du troisième ordre, et comme la distance du point M' a sa projection est elle-même du troisième ordre, la distance au cercle esL. l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les deux côtés sont du troisième ordre» et elle est, par conséquent, du même ordre qu'eux.

Aucun autre cercle tangent à la courbe en M ne «peut partager avec le cercle de courbure la propriété de passer à distance infiniment petite d'ordre supérieur au second, du point infiniment voisin M'. Si en effet deux cercles différents, se touchant au point M, étaient tels que leur distance au point M' fût pour tous deux supérieure au second ordre, la distance de ces deux cercles dans le voisinage de leur point de contact serait aussi d'ordre supérieur au second ; or il est impossible qu'il en soit ainsi. Si en effet les deux cercles sont dans un même plan, leur contact ne peut être que du premier ordre, et leur distance est du second ordre seulement; s'ils sont dans des plans différents, ces plans se coupant sous un angle fini suivant la tangente commune, un point pris sur l'un d'eux à distance infiniment petite du premier ordre du point de contact est à distance infiniment petite du second ordre de la tangente qui sert d'intersection aux deux plans, et par suite aussi à distance infiniment petite du second ordre du plan qui contient le second cercle; sa distance à ce cercle est donc tout au plus du second ordre.

Le cercle dont la distance à une courbe, dans le voisinage d'un point donné, est infiniment petite du troisième ordre, est par conséquent unique. Il approche de la courbe infiniment plus qu'aucun autre, et reçoit, pour cette raison, le nom de cercle oscillateur; il ne diffère pas, d'après ce qui précède, du cercle de courbure.

Calcul du rayon de courbure.

58 i. La courbure d'une courbe à double courbure a été définie (578) : c'est le rapport de l'angle formé par deux tangentes infiniment voisines à l'arc qui sépare leurs points de contact. Le rayon de courbure est le rayon d'un cercle ayant même courbure que la courbe au point considéré. La courbure est égale à l'unité divisée par le rayon de courbure.

Les équations d'une courbe étant données, il est facile de calculer, en chaque

point, la courbure -• Pour cela nous chercherons d'abord l'expression de l'angle de contingence.