LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

Soient a, j3, 7, les angles formés avec les axes par la tangente en uu point M, et a -f- doc, /3 h- rf|3, 7 -h dy, les angles analogues correspondants au point voisin M'. Menons, par l'origine 0 des coordonnées, des parallèles à ces deux directions, et portons sur chacune d'elles une longueur égale à l'unité. En joignant les extrémités T etT' de ces longueurs, on obtiendra un triangle isocèle OTT, dans lequel l'angle au sommet 0 est égal à l'angle de contingence s, que nous voulons calculer, et l'on a, par conséquent,

TT'i=-2sin-e.

e étant infiniment petit, le sinus peut être remplacé par l'arc, et la distance TT est égale par conséquent à l'angle de contingence. Les coordonnées du point T sont cos a, cos |3, cos 7, et celles du point T', égales à ces mêmes cosinus augmentés de leurs différentielles; on a, par conséquent,

TT,t = (rfcosa)î-+-(rfcos(3),-f-(rfcos7)î et

€ = TT' = ^(rfcosa)'-f- (rfcos(3)1-f-(rf^osy)'^

iJette expression est d'ailleurs applicable, évidemment, à l'angle formé par deux droites infiniment voisines quelconques, formant avec les axes des angles a, [i, 7, a 4- rfa, ]3 -t- rf|3, 7 4- dy.

La courbure - est, par définition, le rapport de l'angle î à Tare infiniment petit

correspondant ds9 et l'on a par conséquent

, v 1 /dcosot\* /rfcosôV /rfcosyV

Si l'on nomme x, y, z les coordonnées du point considéré sur la courbe, et ^ la longueur de l'arc compté à partir d'une origine fixe quelconque, les cosinus des angles formés par la tangente avec les axes ont pour expression,

dx dy dz lis ds ds '

et la formule (1) donne par conséquent

V ; p»~" <fc» + ds* + ds*

Si l'on prend l'arc 5 pour variable indépendante, on a

* ds __ dl x '~3s d'jr 'Us d*z

ds ~ ds* ' ~dr~~~3ï^ ~<frr~~~rf?'

et par conséquent,

i fd'xy fd*rY /d*z\>

Si Ton veut laisser la variable indépendante indéterminée, il faut écrire

// ^x ' ds dsd'x — dxd-s

et par conséquent,

. i (dsd2x — dxd7sy-!r(dsd7r — dyd*sy-+-(dsd'z—dzd*$y

(4) p'~~ ' ds*

Cette expression peut se transformer à l'aide de l'équation ( 5 ) dx- -h dr *-hdz2 = ds-,

dont on déduit, par la différentiation, (6) dxd*x+- dyd\r+ dzd-z = d$d*s.

L'équation (4 ) peut s'écrire

i ds2[(d,x)*-h(d>ry-h(d2z)2]-+-[d>s)2(dx'-+-dy7-hdzi)— ^dsd^jdxd^-hdyd'y-hdzd^)

{1] rj- ! d? * '

et, à cause des équations (5) et (tij,

i __ ( dnx)2 + ( d\r y -4- ( rf3 z Y — ( d>s y ô>~~~ ds*

ou, ce qui revient au même,

ii {dx*+dr2 + dz*)\[d'xy + (dyy-h(d*zy]—{dxd>x-t-drd*r-+-dzd'z)* ?— * ' " ds' ' \

c'est-à-dire

i (dyd'z - dzdyy -h (dz d7 x — dxd1 z)7 4- (dxd\r—dy d'x)'

. y ds*

585. La formule (3) peut s'interpréter d'une manière élégante. Soient r, y% z les coordonnées d'un point M de la courbe que nous regardons comme des fonctions de l'arc s, compté à partir d'une origine arbitraire. Le point voisin correspondant à l'arc s 4- ds aura pour coordonnées, en négligeant les infiniment petits d'ordre