LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES
on en conclut
* de .
dcosa= — cos/, cl.
ds (2} */cos(3= — cos u,
, ds
dcos y = — cos v.
Les différentielles des angles £, u, Ç peuvent s'exprimer d'une manière analogue: si, en effet, par l'origine des coordonnées, on mène des perpendiculaires à deux plans osculateurs infiniment voisins, et que, sur chacune d'elles, on porte une longueur égale à l'unité, la droite qui réunit les deux points ainsi obtenus est évidemment perpendiculaire a Taxe du plan osculateur et parallèle par conséquent à ce plan; elle est de plus dans un plan perpendiculaire à l'intersection des deux plans osculateurs infiniment voisins, et parallèle par conséquent au plan normal; il résulte de ces deux conditions qu'elle est parallèle à la normale principale, et forme avec les axes les angles X, 4u, v; les deux points réunis par cette droite ont pour coordonnées,
cos£, cosu, cosÊ, A
cosç-f-</cos£, cosv-hdcos-jy cos Ç-hc/cosÇ:
on a, par conséquent,
rfcosc
cos / =
*/(dcosl¥-\-{dcosv)7-\-(dcosZy'
, ~, tfcosi*
(3) «os ul = —
Videos^)1 -\-{dcosvy -\-{dcosV; d cos£
cos v
V^(rfcosÇ)a4-(rfcosu)24-(</cosÇ)* Mais en nommant n l'angle de deux plans osculateurs voisins, on a
u = V"(rf cos $)' + (£/ cos w)1 -h (rfcosÇ)' = — les équations (3) deviennent, d'après cela,
. d cos E
cos >. == r — -3 — - , ds
d cos u cos iA = r — j — * ds
dcos £ cos v = r — -j — - , ds
et par conséquent,
, y ds cosX
a cos £ =
/ / \ j os COS u (4) dcosv = j-^
rfcosÇ =
rfj cos j
ds cos v
591. Les différentielles des trois autres cosinus ^cosX, rfcosjut, rfcosv, se déduisent de celles que nous venons d'obtenir. Les trois droites que nous considérons formant en effet un trièdre trirectangle, la somme des carrés des cosinus des angles qu'elles forment avec une droite quelconque, Taxe des X par exemple, est égale à l'unité, et l'on a
( i ) cos2 a -h cos2 X -r- cos2 X = i ;
on en conclut
(2) cos a tfcosa-f-cos X</cosX + cos !• tfcos \ = 0,
et par conséquent,
,«, 1 ^ cos a , cos H , y
( 3 ) d cos a = r d cos l» ? a cos £,
cos >. cosX *
c'est-à-dire, à cause des valeurs trouvées pour dcosv et rfcosÇ,
//\ j ■> /cos a COSË\ , ( 4 ) tf cos >. = — ( 1 - J ds.
On trouvera de même
, /cos 6 cosiA .
rfCOSU = — - H ftt,
, /cos y cos £\ , (/ cos v = — 1- H tf*.
592. Les formules précédentes permettent de calculer pour une courbe quelconque les dérivées de l'une des coordonnées par rapport à l'arc, en fonction des angles qui définissent la tangente*, des deux courbures de la courbe et de leurs dérivées.
On a, en effet,
dx
—r — cos a, ds
d-x d cos a i
