LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

Si Ton représente, pour abréger, par

A(t — x)-hB(u—y)-\-C[v—z)—o l'équation du plan osculateur, on a

cos£ (8) cos-j =

' v/A' + B'-hO R

cos ç =

on en conclut,

y/A'+B'-hC2

. > [B'-hO)dA — ABdB — ACdC // COS >; = ; i

(A'-f-B'-hO)*

, % , (C'-KV)rfB — BCrfC — BArfA

{ 9) a cos v = - 3 •>

(AJ+B' + (?)«

, y (A'-f-B2)rfC — CArfA— CBdB rfcosÇ= i ?

(A'-hB'-hC-'p

et Ton en conclut, après des réductions faciles et indépendantes de la forme des expressions représentées par A, B, C,

y,z= V(^cosç)2-h(^cosy)3-f-(c/cosÇ)2

y/(A'4-B2-hC2)(rfA'--h</B3-h</C3)— (Ac/AH-BrfB + CrfC)1 ~~ Aa+Ba-hCs

ou, ce qui revient au même,

__ y/(BrtfC — CdBy-h (Cd\—\dCy-h (AdB — BdAY

[ï0} Tl~ A* + B'-+-c* ;

mais on a

A = dyd'z —dz d'y, B = dz d\v — dxd*z , C — dxd'y— dyd*x, d\ = dyd*z — dzd*y, dB = dzd'x — dxd'z, di] = dxd'y —dyd*x:

on en déduit

WB— BrfA BdC — CdB CdA — AdC ,, ,. ., ,D ,2 .,,

-. = . = j = — d*xdA — d*rdB — dizdL:

dz dx dy

par conséquent,

V(JMC— O/B)

HO/A — ArfC)M-(ArfB — BtfAf ,4 . , . . , ,r .. ' - = d\d9x-^dBdir-\-dCdiz,

s/rfx2 -h rfr* -l- rfz'J

(il;

et enfin.

ds{dAd>x + dBd\y+dCd>z) A'-hB'-hC

dKd^-hdhd'r-hdCd'

A'-f-B'-hC3 On a trouvé (584)

AJ + BJ + Cî = [(f/î,r)' + ((/2r), + (^),-(rf1«)î]iî,

et l'expression de - peut, d'après cela, être mise sous la forme

l __ dA.d> x -h dïtd\r -h dCd>z

r ~~ ds>[{d>x)>-h(d*yy + (d>zy—{d*sy] '

ou encore, ce qui revient au même, d'après les valeurs de rfA, rfB, rfC,

i __ Arf'.r-f-Brf'j-4-Crf'*

r ~~~ dsi^d'xy-hidtyy-hid'zy—id'sy]

Formules de M. Serret.

590. On peut considérer en chaque point d'une courbe à double courbure trois droites rectangulaires dontla position est intimement liée aux affections de la courbe, savoir : la tangente, la normale principale, et la perpendiculaire au plan oscillateur. Nous avons fait connaître les formules qui expriment les cosinus des angles formés par chacune de ces directions avec les axes. Les différentielles de ces cosinus s'expriment aussi d'une manière élégante et satisfont à des équations importantes données par M. Serret, et que nous allons faire connaître.

Soient a, jS, 7, les angles formés avec les axes par la tangente en un point de la courbe; £,u,Ç, les angles formés par la perpendiculaire au plan osculateur; X, u, v, les angles formés par la normale principale.

- et désignant toujours les deux courbures de la courbe, on a f 587)

d cos a ~~ds~ '

</cosû

COS a = 0 ; - y

d cos y

cos v = 0 -. — L ;