LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

de da9 les termes en da, da1 et da% ont des coefficients nuls. On doit par conséquent égaler à zéro les trois premières dérivées du premier membre, ou, ce qui revient au même, les trois premières différentielles que Ton calculera en laissant la variable indépendante indéterminée.

On aura donc, pour déterminer les coordonnées a, b9 c du centre de courbure,

(x — a)dx H- ( r — b)dy-t-(z — c)dz = o, ; 2 ) ( x — a)d2x -j- [y— b)d7y-{- (z—c) d2z — dx- — dy' — dz7 = o,

[x — a) d*x -f- (y — b ) d\y ■+- ( z — c)dlz — dxd3x — dyd\y— dzd'z = o.

604. Les trois équations précédentes expriment que le centre de la sphère osculatrice est le point commun à trois plans normaux infiniment voisins. La première des équations (a), si Ton y considère a, b, c comme variables, représente en effet le plan normal au point [x9y9z)9 et les deux suivantes, qui en sont les différentielles première et seconde, étant combinées avec elle, représentent le point commun aux trois plans normaux infiniment voisins.

Les plans normaux d'une courbe enveloppent une surface développable qui a ■■.'.///' -/tr pour génératrices les axes des plans oscillateurs; l'arête de rebroussement à laquelle toutes les génératrices de la surface sont tangentes a (571 ) pour plans oscillateurs ces plans normaux eux-mêmes, et chaque point de cette arête de rebroussement, pouvant être considéré comme le point commun à trois plans osculateurs infiniment voisins, coïncide avec le centre de la sphère osculatrice, intersection des trois plans normaux infiniment voisins à la courbe donnée.

Le centre de la sphère osculatrice en chaque point d'une courbe est par conséquent le point correspondant de l'arête de rebroussement de la surface développable enveloppe des plans normaux de la courbe donnée, et qui a pour génératrices les axes des cercles osculateurs.

605. Le centre de la sphère osculatrice est, d'après ce qui précède, le point de rencontre de trois plans normaux infiniment voisins. Pour en calculer les coordonnées, il faut combiner l'équation du plan normal avec ses deux premières différentielles; mais on peut aisément donner à ces équations une forme plus simple qui conduira à un résultat plus élégant.

En nommant, comme nous l'avons fait (590) a, jS, y, les angles formés par la tangente avec les axes des coordonnées, l'équation du plan normal est

(1) (f — x)cos a-h(u — y)cos$-h[v — z)cosy = o:

la différentielle divisée par ds est

t~\ t * \d cos a , , . d cos 3 , . d cos y dx adr dz

Ût s»

En nommant X, jz, v les angles de la normale principale avec les axes, cette équation devient, en vertu des formules démontrées (587),

(3) - [(/ — *) cos >.-+-( u — y) cos a -h (v — ;s)cosv] — i =o.

Avant de la difïérentier une seconde fois, il est évidemment permis de la multiplier par p9 et d'y substituer

( 4 ) ( t — x ) cos À -h ( « — y) cos uL-h(v — z ) cos v — p = o ;

la différentielle est

.. . , rfcosÀ , dcosu. , . d cos v dp

(5) l-X)-dr+{u-}')~dr+{v-z)—dS — -£=°-

, A f/cOSA rfcOSU t/cOSV , , /enjx i»'

ou, en remplaçant — ^ — > , * ? — -i — par leurs valeurs (591), 1 équation j peut donc s'écrire, en multipliant par r,

(6) (/ — j?)cos$-f-(« — /)cosn-(v — s)cos£ — r-£ = o;

elle représente un plan parallèle au plan osculateur, et passant par le centre de la sphère osculatrice dont les coordonnées t, u, v seront déterminées par les équations (i), (4), (6).

Si l'on fait passer dans le second membre les derniers termes de ces équations et qu'on les ajoute ensuite après les avoir élevées au carré, en ayant égard aux relations qui lient les cosinus des angles formés avec les axes par trois droites rectangulaires, on trouvera

c'est l'expression du carré du rayon de la sphère osculatrice.

606. On peut arrive? au même résultat par des considérations purement géométriques.

Le centre de la sphère osculatrice est situé en effet sur l'arête de rebroussemenl de la surface lieu des axes des cercles osculatcurs.

Soient M et M' deux points infiniment voisins de la courbe considérée, et ds Tare infiniment petit MM'; MO, M'O' les rayons de courbure correspondants, et OC, O'C les axes des cercles osculateurs que l'on peut considérer comme se coupant au centre C de la sphère osculatrice. La ligne MO, étant située dans le plan normal