LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

k MM', est tangente à la surface développable, et les directions OM, 00', OC sont par conséquent dans un même plan. Soit vj l'angle OCO' formé par les axes des cer-

« jr

cles osculateurs en M et M'; on a, en désignant comme précédemment la seconde courbure par -*

Si Ton pose OC = /, et que 0 désigne l'angle O'OC, on a évidemment aussi

00'. sinG

et par conséquent

, r.OO'.sinO

/ = — Si —

Les lignes MO, M'0\ étant normales ii MM', leur différence dp est égale (21 ) à 00' cosfMO, M'O'); mais MO étant perpendiculaire à OC, on a

cos(MO, M'O') = sin0, et par conséquent

OO'sin0 = tfp; on en conclut

. dp

et le rayon MC de la sphère, étant l'hypoténuse du triangle MOC, on a en fin

607. Lorsque la courbure d'une courbe est constante, on a -f- = o, et l'équa-

tion précédente donne R = p. Le cercle oscillateur est, dans ce cas, un grand cercle de la sphère osculatrice. La longueur désignée par / est alors égale à zéro. L'arête «de rebroussement de la surface enveloppe des plans normaux est donc, dans ce cas, le lieu des centres de courbure. Monge a remarqué que cette courbe a, comme la proposée, un rayon de courbure constant, et que chacune d'elles est alors le lieu des centres de courbure de l'autre.

Nommons en effet S la courbe proposée, et 2 l'arête de rebroussement de la surface enveloppe des plans normaux qui, dans ce cas, est à la fois le lieu des centres de courbure et des centres des sphères osculatrices. Les tangentes à la courbe 2 sont les axes des cercles osculateurs de S, et par conséquent les plans normaux de 2 sont les plans osculateurs de S; l'enveloppe 'de ces plans normaux est donc une surface développable dont S est l'arête de rebroussement, et par conséquent la courbe S est le lieu des centres des sphères osculatrices de la courbe 2. Les deux courbes S et 2 étant telles, que le plan normal a chacune est osculateur de l'autre, et la normale principale étant l'intersection du plan osculateur avec le plan normal, les deux courbes ont mêmes normales principales, et ces normales réunissent leurs points correspondants. Il en résulte que pour la courbe 2, comme pour la courbe S, le rayon de la sphère osculatrice se confond avec la normale principale, et que S, lieu des centres des sphères osculatrices de 2, est aussi le lieu de ses centres de courbure.

Détermination de quelques grandeurs infiniment petites.

608. Distance d'un point dune courbe au plan osculateur infiniment voisin. — Soit MM' un arc infiniment petit de courbe à double courbure que nous désignerons pardi; projetons cet arc sur un plan perpendiculaire à la tangente en M.

Soient P la projection du point M, P' la projection de M , PT la tangente à la courbe P' au point P, et P'T' la tangente en F.

Le plan oscillateur de la courbe MM' au point M est MPT; il est parallèle a M' F, et par conséquent la distance que nous voulons évaluer est égale à la perpendiculaire P'Q, abaissée du point P' sur ce plan, ou, ce qui revient au même, sur la ligne PT. On a, en réunissant les points P et F par une ligne droite, pour former le triangle rectangle QPP',

(i) , FQ = PP'sinQPF.

Le facteur PF, distance du point M' k la tangente en M, est infiniment petit du second ordre, et Ton a (586)

(2) pp/^f!..

-ip

Nous avons donc seulement a évaluer l'angle QPF, mais dans cette évaluation se présente une difficulté singulière que nous signalerons k la fin du calcul, et par suite de laquelle un raisonnement très-spécieux va nous conduire a un résultat inexact.

L'angle 1, formé par les tangentes PT, FT\ mesure l'inclinaison du plan osculateur en M sur le plan parallèle aux deux («angentes en M et M'; cet angle, moitié (566) de celui des deux plans osculateurs voisins, est égal par conséquent, en négligeant bien entendu les infiniment petits du second ordre, à — • L'angle TPP' semble devoir être la moitié du précédent et égal k t-« en sorte que la formule (i) donne, pour distance du point M' au plan osculateur en M,

orp

Mais une circonstance singulière rend ce résultat inexact. L'arc PP' présente, en effet, un cas exceptionnel. Le rayon de courbure au point P est nul. L'angle de contingence I de l'arc PF est en effet infiniment petit du premier ordre, c'est-à-dire de même ordre que l'arc MM' représenté par s; mais l'arc PF, dont la

• corde est égale a — ? est du second ordre. Le rapport de l'angle de contingence k la

longueur de l'arc est donc infini, et le rayon de courbure est égal a zéro.

Le théorème dont nous avons déduit l'angle TPF étant en défaut, il faut, pour calculer cet angle, recourir à d'autres considérations. Rapportons l'arc PF k deux axes rectangulaires situés dans son plan, en prenant pour axe des X la tangente PT, et pour axe des Y une perpendiculaire a cette tangente menée par le point P. L'abscisse du point F par rapports ces axes peut être considérée comme égale

à PP', c'est-à-dire à — : l'angle PIT', qui a pour tangente -^> est égal à -• ona

donc

d'où l'on conclut

en négligeant toujours, il doit être superflu de le rappeler, les infiniment petits d'ordre supérieur à ceux que Ton conserve.

On conclut de l'équation (/\)9 en vertu du théorème démontré (549;,

et par conséquent

y i , ,±x* 2 dy s

x 3 v ^ ' r 3 dx 3r' est la tangente de l'angle P'PT, elle peut remplacer le sinus dans la formule : i,.

et l'on a enfin.

Telle est la distance de l'une des extrémités de l'arc infiniment petit $, au plan oscillateur correspondant à l'autre extrémité.

609. Distance de deux tangentes infiniment voisines. — La tangente en M ayant pour projection de la courbe PF le point P, et la tangente en M' se projetant suivant la droite P'T', la plus courte distance de ces deux tangentes est la perpendiculaire PK abaissée du point P sur P'T', et l'on a évidemment

PK = PP'sinPP'K.

PP' est égal, nous l'avons dit, à — : quant à l'angle PFK, il est la différence des deux angles K1P, IPP', précédemment évalués : le premier égal à — * et le second