LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

on en conclut

dx = dt -f- M cos a -h cos a rf/, ( 2 ) djr= du -h /tf cos (3 -hcos (3 rf/,

dz = dv -+- Wcos y -4- cos y rf/.

Ajoutons ces équations après avoir multiplié la première par cos a, la seconde par cos |3, et la troisième par cos y, en ayant égard aux équations

cos1 a -+- cos1 |3-|- cos* y = i, cos a</ cos a -f- cos (3 d cos (3 -I- cos y (/cos y = o ,

nous aurons,

( 3 ) dx cos a + dy cos (3 -f- rf* cos y = cos a<// -h cos (3 rfi* -+- cos ydz-h dl.

Mais en nommant ds la différentielle de Tare de la courbe S, on a

dt n du dz

cos* = ^, cos(3 = ^, -cosy = ^,

et l'équation (3) devient

j . ^ a j dt* -h du* -h dv* ,, , ,. dx cos a -+- a/ cos (3 -h rfz cos y = -g h dl = ds-k-di.

La condition nécessaire et suffisante pour que ds ■+• dl = o, est donc que le premier membre soit nul, et que, par conséquent, la tangente à la courbe 2, qui forme avec les axes des angles dont les cosinus sont proportionnels à dx, dy9 dz, soit perpendiculaire à la droite /, qui forme les angles a, |3, y.

613. La normale principale de la développée est parallèle, en chaque point, à la tangente correspondante de la développante.

Considérons en effet deux normales voisines perçant la développante en M et M', et touchant la développée aux points correspondants T et T. La normale principale

en T est perpendiculaire à MT, et située dans le plan osculateur de la courbe TT\ lequel (571) touche suivant MT la surface dôveloppable. lieu des droites TM, T'M\ et contient par conséquent la tangente à la courbe MM' située sur cette surface. La

normale principale en T et la tangente en M étant dans un même plan et perpendiculaires toutes deux à la droite MX, elles sont parallèles.

614. 11 est facile de démontrer la même propriété par le calcul. En nommant en effet /, u, v les coordonnées du point T, etx9y9 z celles du point M et / la distance qui les sépare, on a trouvé (612)

dx = dt -f- M cos a -+- cos a dl,

dy =du -f- /(/cos (3 -f- cos (3 rf/,

dz = dv-hld cos y -f-cosyrf/;

mais on a

dl-+-ds = o,

d'ailleurs,

dt du - dv

Ts = cos"> lTs=C0*ï> Ts=cosy;

par conséquent,

rf/-h cos «<//== O,

rfll-+-C0SP<// = O,

dv-+-cosydl = o,

et les équations ( i ) se réduisent à

dx = Id cos a ,

dy = Wcos(3#

dz = Id cos y.

Elles prouvent que la direction qui fait avec les axes des angles dont les cosinus sont proportionnels à dx, dy, dz, c'est-à-dire la tangente à la développante, est parallèle à celle qui fait des angles dont les cosinus sont proportionnels à dcosa, ricosjS, rfeosy, c'est-à-dire a la normale principale à la développée.

Sur/ace lieu des développées.

615. Chaque point d'une développée est l'intersection de deux normales infiniment voisines de la développante. Il est donc situé sur l'intersection de deux plans normaux infiniment voisins de celle-ci, c'est-à-dire sur l'axe du plan osculateur; toutes les développées d'une courbe sont donc situées sur la surface lieu des pxes des cercles osculateurs. Cette surface, lieu des développées, est aussi le lieu des intersections successives des plans normaux de la développante, c'est-à-dire la surface développable enveloppe de ces plans normaux, qui a (604) pour arête de rehaussement le lieu des centres des sphères osculatriccs.