LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

616. Les développées situées sur cette surface développable sont telles, que, par le développement de la surface sur un plan, elles se transforment toutes en lignes droites. Elles sont par conséquent les lignes les plus courtes que Ton puisse tracer entre deux de leurs points sur la surface développable.

La normale principale d'une développée étant en effet parallèle à la tangente au point correspondant de la développante, elle est perpendiculaire au plan normal de celle-ci, c'est-à-dire au plan tangent de la surface développable lieu des développées. Une développée a donc en chaque point sa normale principale, et par conséquent aussi le plan osculateur qui la contient, perpendiculaire au plan tangent de la surface développable sur laquelle elle est tracée. Or nous allons montrer qu'une courbe, dont le plau osculateur est en chaque point normal a la surface développable sur laquelle elle est tracée, se change en ligne droite par le développement de celle-ci.

Pour cela, cherchons quelle est la courbure de la transformée d'une ligne quelconque tracée sur une surface développable que l'on développe. Lorsque cette courbure sera nulle, la transformée sera rectiligne.

Considérons d'abord un polyèdre dont les arêtes sont les intersections successives d'une série de plans; il suffira de supposer que les plans successifs se rapprochent indéfiniment pour que ce polyèdre soit remplacé par une surface développable, à laquelle les résultats obtenus s'appliquent comme limite. Soient A M,

BN, BP trois arêtes consécutives du polyèdre, et mnt np, deux côtés d'un polygone tracé sur la surface. Pour développer le polyèdre sur un plan, il faudra faire successivement tourner chaque face autour de l'arête qui la réunit a la face voisine. Dans ce mouvement les côtés mn et np ne changeront pas de longueur, mais l'angle formé par eux, ou, ce qui revient au même, par leurs prolongements, sera altéré. Soit np' la position de np après la rotation. Posons m'np = e, m'np' = t': np, np' sont deux génératrices d'un cône dont wB est l'axe, leur plan est donc à la limite tangent a ce cône, et par conséquent perpendiculaire au plan Bnp', ou, ce qui revient au même, à m' np '. On peut donc, en passant à la limite, regarderie

Si.

trièdre npp'm' comme rectangle suivant l'arête np\ et si l'on pose

m! np = g , m'np' = g',

que Ton nommé B l'angle dièdre formé par la hcep'np wecpnm', on aura

tang g' = tangecos0,

ou, ce qui revient au même, e et e' étant infiniment petits,

e' = e cos 0.

Telle est la relation qui lie l'angle de contingence e' de la courbe transformée, à l'angle de contingence e de la courbe primitive. 6 désigne évidemment l'angle formé par le plan osculateur de la courbe limite avec le plan tangent à la surface développable, mené par la tangente à cette courbe. L'élément de la courbe ne changeant pas de longueur dans le développement, le rapport des courbures est celui des angles de contingence, et par conséquent, en nommant p le rayon de courbure de la courbe tracée sur la surface développable, et f ' celui de la transformée après le développement de la surface» on a

i cos0

Pour que -, soit nul, c'est-à-dire pour que la transformée soit une ligne droite, il

faut et il suffit que cos 0 soit égal à zéro, c'est-à-dire que le plan osculateur de la courbe soit normal à la surface sur laquelle elle est tracée.

617. Toutes les développées d'une courbe se transforment en lignes droites par le développement de la surface développable qui les contient. Mais la proposition réciproque ne serait pas exacte: toute courbe tracée sur la surface développable, et qui par le développement devient une ligne droite, n'esl pas pour cela une développée.

Les lignes droites dans lesquelles se transforment toutes les développées concourent en un même point.

Imaginons en effet la surface développable enveloppe des plans normaux d'une courbe donnée, sur laquelle se trouvent toutes les développées de cette courbe. Concevons un plan enroulé sur elle et qui se déroule en tournant successivement autour des diverses génératrices. A un instant quelconque de l'opération, ce plan touche la surface suivant une génératrice et, sur la portion déjà déroulée, les diverses développées se sont transformées en lignes droites qui se raccordent avec les parties encore situées sur la surface, et les touchent précisément sur cette génératrice de contact où la portion déjà développée de la surface se raccorde avec celle