livre troisième. - applications géométriques. a

et par conséquent, en différentiant,

— sïïïBdO = cos^rfcosç-^-cosu'rfeosv-hcosv'rfcosfc -h cosÇrfcos)/ •+- cosvdcosu'

-f-cosÇtfcosv';

en nommant dré P angle de deux plans osculateurs infiniment voisins, on a

rfcos l = dr, cosX, d cos it = dn cos p , £/oosÇ = rfyîrosv;

de plus, rfcosX', rfcosjut', rfcosv' sont proportionnels aux cosinus des angles formés avec les axes par la normale principale de la développée qui est (613) parallèle à la tangente delà développante; il en résulte que la somme des trois derniers termes de l'équation (2) est égale à zéro, et cette équation se réduit à

(3) — sin OdO = dn (cos)»cosÀ'-+-cos/xcos jt/'-f-cosvcosv'}.

Le multiplicateur de dr) dans le second membre est le cosinus de l'angle formé par la normale principale de la courbe donnée avec la normale qui touche la développée: il est évidemment égal a sin 0, et l'on a, par conséquent,

d0 = — rfyj,

ce qui démontre la proposition énoncée.

Équation des développées.

622. Après le développement sur un plan de la surface développable qui contient toutes les développées, les génératrices sont représentées par des lignes droites tangentes à une même courbe qui est la transformée de l'arête de rebroussement. Les développées sont représentées par des lignes droites qui coupent ces diverses tangentes. Si l'on nomme a et a0 les angles sous lesquels une même développée coupe deux génératrices de la surface développable, et Q l'angle formé par ces génératrices après le développement, on a, évidemment,

Cela posé, pour chercher l'équation des développées, après avoir choisi sur la surface développable une génératrice initiale a laquelle correspond l'angle a0, on calculera l'angle û relatif à une génératrice quelconque. Cette détermination exigera l'emploi du calcul intégral. La différentielle rfiî, angle de deux génératrices infiniment voisines de la surface développable, est en effet l'angle de deux plans osculateurs correspondants de la courbe donnée, et peut être considérée comme

connue. Supposons que Ton en ait déduit l'expression de 0 en fonction des coordonnées du point correspondant de la courbe donnée. Soit p le rayon de courbure en ce point, et p, sa distance au point correspondant de la développée. p% est l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont l'un des côtés est pf et dans lequel l'angle opposé à ce côté est a0 •+• û : on a donc

sin(a. -h £2)'

Cette valeur de p{ permettra, lorsqu'on aura choisi a0, de déterminer le point de la développée correspondant à un point donné de la développante, et les coordonnées d'un point pourront ainsi s'exprimer en fonction d'une seule variable, dont l'élimination fera connaître les équations de la courbe.

623. M. 0. Bonnet a proposé, pour la détermination analytique des développées, une méthode plus directe, sur laquelle nous aurons a revenir. Nous nous bornerons ici à montrer comment il ramène le problème à la détermination d'une fonction satisfaisant à une certaine équation différentielle.

Le plan osculateur de la développée contient la tangente et la normale principale; la première de ces lignes est normale a la développante, et la seconde (61 1) parai* lèle à la tangente de celle-ci. Il en résulte que les plans osculateurs d'une développée sont des plans menés par les tangentes de la courbe proposée, et tels, que l'intersection de chacun d'eux par le plan infiniment voisin soit une normale à la courbe.

C'est en exprimant cette propriété que l'on trouve l'équation annoncée.

Soient (i) x = az-hp, jr=bz-hq,

les équations de la tangente à la courbe proposée, a, b, p, q% étant des fonctions connues d'un même paramètre a, vérifiant (572) la condition

da db

(2) Tp = Tq'

Le plan osculateur de la développée passant par la droite (î) a pour équation

(3) (x — az — p)-\~y<(y — bz — g)=o,

où X représente une fonction inconnue de a. La tangente à la développée étant l'intersection de deux plans osculateurs infiniment voisins, est représentée par l'équation (3) et par sa différentielle

(4) zda-hdp-+-'k{zdb'+>dq) — rfX(j — bz — q) = o.