LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

La condition pour que la droite représentée par les équations (3) et (4) soit perpendiculaire à la tangente de la courbe donnée est

{a2-\-bl + \)dï-\-l[bdb— ada) — V(adb + bda) = o,

et si Ton trouve une fonction X qui satisfasse à cette équation, on aura l'équation générale des plans osculateurs de la développée, et Ton pourra (575) en déduire l'équation de celle-ci.

EXERCICES

1. Les équations d'une courbe étant données, reconnaître si cette courbe est située tout entière sur une même sphère.

2. Le plan mené par une tangente et par un point pris sur la courbe à distance infiniment petite du point de contact forme avec le plan osculateur un angle égal au tiers de celui de deux plans osculateurs infiniment voisins.

3. La perpendiculaire commune à deux tangentes infiniment voisines forme, avec la perpendiculaire à l'un des plans osculateurs correspondants, un angle égal à la moitié de l'angle de deux plans osculateurs infiniment voisins.

4. On donne deux courbes tangentes Tune à l'autre en un point 0; à partir de ce point on porte sur chacune d'elles une longueur infiniment petite égale à / : trouver la direction limite de la ligne qui réunit les extrémités de ces longueurs.

5. Les centres de courbure de toutes les projections d'une courbe sur des plans conduits par la tangente en un point sont situés sur une même droite perpendiculaire au plan osculateur de la courbe.