LIVKE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES
rayon de courbure est donné par la formule
dlz% dx*
dans laquelle il faut supposer xt — o, et par suite U^ = o, car la courbe est évi-
d- Zy
V|. rour caicuier fois par rapport à x% l'équation
(lemment tangente à Taxe des X,. Pour calculer y-Ç' îl suffit de différencier deux
en se rappelant les relations (i); on obtient ainsi
dz dz dx dz dr dz . dz
1. 3 ) -j— = -1- • -7 h 7- • -7 — = cos a -y- -+■ sin oc -r- *
; dxy dx dx{ dy axx dx ajr
et en différentiant de nouveau par rapporta xt9
14) ^-cos^^ + .sin^osa^^^sm'a^.
Les formules (3) et (4) se rapportent à un point quelconque de la courbe d'intersection; pour en déduire les valeurs des dérivées relatives au point O, origine des
coordonnées, il faut y supposer x = o, y= o, et on a alors -y- = o, -r- =0; les dérivées du second ordre -t-^> , " 1 t-£ prennent des valeurs déterminées que nous représenterons par A, B, C, et nous aurons
dz
dx\
-— = A cos2 a 4- 2 B sin a cos a -f- C sin2 a ;
dx\
z ne différant pas de zn les valeurs^ substituées dans l'équation (2) font connaître le rayon de courbure p, et Ton a
A cos7 a -f- a B sin a cos a -+- C sin - a
Cette formule résout complètement le problème; elle montre que la loi suivant laquelle varie le rayon de courbure p est toujours la même, et que les valeurs numériques des trois constantes A, B, C varient seules d'une surface à l'autre.
625. 11 peut sembler bien extraordinaire, au premier abord, que la loi suivant
laquelle varient les rayons de courbure des sections d'une surface soit déterminée indépendamment de la définition particulière de celle-cL Rien ne semble en effet rattacher les unes aux autres les diverses valeurs du rayon de courbure. Lorsque Ton se donne un point d'une surface et la normale en ce point, les sections faites dans la surface parles divers plans conduits suivant la normale restent arbitraires et indépendantes les unes des autres. Quelles que soient les courbes, pourvu qu'elles se succèdent en se déformant suivant une loi continue, leur ensemble formera une surface, et rien ne restreint évidemment la loi suivant laquelle peuvent varier les rayons de courbure. Ce raisonnement bien simple montre seulement que le théorème précédemment démontré doit présenter des exceptions. Sa démonstration ellemême, si on l'examine de près, conduit d'ailleurs à la même conclusion. Nous
avons admis en effet que les dérivées y-8> -?— -?-> -t—2 prennent, lorsqu'on y suppose x = o, y= o, des valeurs déterminées qui ont été désignées par A, B, C; or il peut arriver que ces expressions, quoique fonctions déterminées de x et de y, deviennent indéterminées pour ce système particulier de valeurs. C'est ce qui a lieu
par exemple lorsqu'elles dépendent du rapport £ » dont, pour 07 = 0,^ = 0, la valeur est arbitraire. Ces exceptions, qui ne peuvent se présenter qu'en des points singuliers de certaines surfaces, ont d'ailleurs peu d'importance, elles n'infirment pas plus la théorie générale de la courbure, que l'existence d'un point anguleux tel que le sommet d'un cône n'infirme celle du plan tangent.
626. La courbure - d'une section normale quelconque a pour expression
- = A cos2 a -4- 2B sin x cos a -h C sin' a.
Les constantes A, B, C, qui varient d'une surface à l'autre, et d'un point à l'autre sur une même surface, suffisent, quand elles sont connues, pour déterminer les courbures de toutes les sections normales.
Lorsque l'angle a varie, le trinôme qui représente - passe par une valeur
maxima et par une valeur minima que Ton obtiendra toutes deux en égalant la dérivée à zéro ; on a ainsi
(C — A) sin 2 a -h 2B cos 2a = o,
lang 2 x =
Cette équation fournit pour a un nombre infini de valeurs auxquelles correspondent, comme on sait, deux directions perpendiculaires Tune à l'autre. La seconde
