THÉORIE DE LA COURBURE DES SURFACES

Courbure des sections normales.

624. La courbure d'une surface en un point n'offre pas une idée aussi simple que celle d'une ligne courbe, et pour la faire connaître il semble nécessaire de déterminer, non-seulement les courbures des sections, mais encore celle des lignes à double courbure qui passent par le point considéré. Ces diverses courbures sont liées, pour une surface quelconque, par des lois remarquables que nous allons faire connaître dans ce chapitre.

Nous étudierons d'abord la courbure des sections faites dans la surface par les plans normaux. Prenons pour axe des Z la normale OZ en un point 0 de la surface considérée, et pour axes des X et des Y des droites perpendiculaires l'une à l'autre, menées dans le plan tangent en 0. Soit z = o(x, y) l'équation de la surface rapportée à ces axes, z, -r- et j- sont évidemment nuls tous les trois lorsque l'on suppose x = o, y = o. Nous allons chercher la courbure de la section faite dans la surface par un plan conduit suivant l'axe des z, et incliné d'un angle a sur le plan ZOX. L'équation d'un tel plan estj=a?tang a.

Rapportons la courbe suivant laquelle il coupe la surface donnée à deux axes situés dans son plan, dont l'un OZ soit précisément Taxe des Z, et l'autre OX, la trace de ce plan sur celui des XY. En nommant xt et z, les coordonnées d'un point quelconque de la courbe par rapport à ces nouveaux axes, et xf y, z celles du même point par rapport aux axes primitifs, on a évidemment

(0 * x = xt cos a ,

j=,rlsin»,

et par conséquent, le point étant situé sur la surface dont l'équation estz — <p<x,y ,. on a

5, = ?(.r,cosa, XiSÏnat):

c'est l'équation de la courbe rapportée aux axes OZ, OX,, situés dans son plan. Le