LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

point par rapport aux trois axes primitifs, on a évidemment

x = xx ,

j—s.siny, et l'équation (a) donne par conséquent

(4) z,cosy = ? {xx, z.siny),

qui est l'équation de la courbe par rapport à des axes situés dans son plan. L'expression du rayon de courbure est

dx\

Pour obtenir les dérivées -^ > -p^' qui y figurent, prenons la dérivée par rapport à a?, de l'équation

en se rappelant les formules (3), on aura

d zx dz dz d zx .

(b) , dï,co**<=dï + d} ^,sm^

Cette équation fournira la valeur de -7— '; en prenant de nouveau la dérivée par rap-

portai,, on obtiendra -j-^> mais comme nous voulons avoir seulement la valeur

relative àa?, = o, le calcul est susceptible d'une simplification. Remarquons en

effet que le dernier terme du second membre contient deux facteurs -^ et y-,> qui,

évidemment, s'annulent au point considéré. Or, pour prendre la dérivée de ce produit, on ne doit faire porter la différentiation que suf un seul facteur à la fois; les deux termes qui composent cette dérivée sont par conséquent nuls, quand on y suppose xK = o, il est donc inutile de les écrire, et Ton a, pour le point particulier qui nous occupe,

,„k d2zx d'z d*z dzx

( 1 ) -y-,- cos y = -j— -f- -j — -r . sin y 7— :

dx\ ' dx1 dxdy ' dxx

^ étant nul, puisque la courbe est évidemment tangente à l'axe des X, il reste,

(m PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL,

pour le point 0,

dx\ cosy '

d* z la valeur de -r-t correspondant au point dont les coordonnées sont x = o, y = o,

et étant, par conséquent, une constante déterminée que nous désignerons par A.

D'après ce résultat, et -r^ étant égal à zéro, la valeur du rayon de courbure py

devient

/ » oos7

Si Ton fait 7 = 0, cette formule représente le rayon de courbure de la section normale conduite suivant l'axe des X, et l'on a, en le désignant par p,,

On conclut des équations (9) et (10)

(11) py = pncosy,

et par conséquent le rayon de courbure d'une section oblique est égal au rayon de courbure de la section normale qui a même tangente, multiplié par le cosinus de l'angle formé par le plan des deux sections.

Courbure d'une ligne à double courbure.

630. On peut déduire du théorème précédent le rayon de courbure d'une ligne quelconque tracée sur une surface donnée. Nous allons prouver en effet que la courbure, en un point quelconque, d'une ligne tracée sur une surface, est égale à celle de la section plane faite dans la surface par le plan osculateur de la ligne considérée en ce point.

Le plan osculateur est en effet, dans le voisinage de son point de contact, à une distance infiniment petite du troisième ordre delà courbe, c'est-à-dire, comme on l'a expliqué (562), qu'un point situé sur la courbe h distance infiniment petite du premier ordre du point de contact est à distance infiniment petite du troisième ordre du plan osculateur. Il en résulte évidemment qu'il est aussi à distance infiniment petite du troisième ordre de l'intersection de la surface par le plan osculateur, le seul cas d'exception possible étant celui où le plan osculateur est tangent à la surface, et par conséquent, en laissant de côté ce cas exceptionnel, les deux courbes ont même cercle osculateur.