LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

Il résulte de là que le rayon de courbure d'une courbe quelconque tracée sur une surface est égal au rayon de courbure de la section normale qui a même tangente, multiplié par le cosinus de l'angle formé par le plan de cette section avec le plan osculateur de la courbe considérée. De toutes les courbes Iracées sur une surface donnée et ayant même tangente, celle qui a le plus grand rayon de courbure est celle dont le plan osculateur est normal : elles sont évidemment en nombre infini.

Ligne minima sur une surface quelconque.

631. Il résulte du théorème précédent que sur une surface quelconque, la propriété caractéristique de la ligne minima est d'avoir en chaque point son plan osculateur normal à la surface. Il est évident en effet que si une ligne est la plus courte entre ses deux points extrêmes, elle est à fortiori la plus courte que Ton puisse mener entre deux points intermédiaires quelconques, et, en particulier, entre deux points infiniment voisins arbitrairement choisis sur sa longueur. Mais lorsque l'on se donne deux points infiniment voisins d'une surface, la corde de l'arc qui les réunit étant déterminée, cet arc est d'autant moindre (517) qu'il a un plus petit rayon de courbure : d'un autre côté, la tangente est déterminée, puisqu'elle peut être considérée comme confondue avec la corde infiniment petite que Ton s'est donnée; le rayon de courbure sera donc maximum si le plan osculateur est normal à la surface, et cette condition doit être remplie en chaque point de la courbe minima.

Ce théorème a déjà été démontré (616) dans le cas d'une surface développable; nous le déduirons plus tard d'une autre théorie, et nous aurons souvent occasion de l'appliquer.

Formules plus générales relatives à des axes de coordonnées quelconques.

632. Après avoir obtenu les formules générales qui permettent d'exprimer le rayon de courbure d'une courbe quelconque tracée sur une surface, en fonction des rayons de courbure principaux et des éléments qui déterminent la position du plan osculateur de la courbe considérée, il est indispensable de reprendre la même théorie sans faire aucune hypothèse sur la position des axes de coordonnées, afin de pouvoir trouver, pour une surface quelconque rapportée à des axes quelconques, la position des sections principales et l'expression de leurs courbures.

Considérons une courbe quelconque située sur une surface donnée rapportée à des axes quelconques, et cherchons l'expression de son rayon de courbure.

x, y y z étant les coordonnées d'un point de la courbe, le plan normal en ce point a pour équation .

(i) (/ — x)dx-h{u — y)dy-+-(v — z)dz = o.

L'équation «du plan normal infiniment voisin s'obtiendra en changeant x% y, z en x+doù% y-+-dy, z + dz, de sorte que la droite suivant laquelle se coupent les deux plans, c'est-à-dire l'axe du cercle osculateur, est représentée par l'équation (i) jointe k sa différentielle

(?.) {t — x)d'x-\-(u—y)d'y + [v — z)d2z — dxi — dy* — dz* = o.

Cette droite représentée par les équations (i) et (a) est la perpendiculaire élevée au plan osculateur de la courbe considérée par le centre de courbure de cette courbe: étant située dans le plan normal d'une courbe tracée sur la surface, elle rencontre évidemment la normale a la surface dont les équations sont

u—y-hq(v — z) = o,

et la combinaison des quatre équations précédentes donne pour coordonnées du point d'intersection

en posant

Soit N la portion de normale à la surface, comprise entre la surface et le point dont nous venons de déterminer les coordonnées: le rayon de courbure que nous cherchons est évidemment la projection de N sur le plan osculateur de la courbe. Si donc nous désignons par 0 l'angle formé par la normale à la surface avec le rayon de courbure de la courbe, l'expression du rayon de courbure p sera

(6) p = Ncos0; mais les équations (4) donnent

-qd'x =

-.Dds'.

(7) N' = (/ — xy+(u— ry+{v — zy =

on en conclut, en ayant égard a (5),

,H) eosQ y/i-hjP'-hg' .

ds* V d? q ds3

or on a

dz = pdx -h qdy ;