LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

et par conséquent

do /~ __ G

z désignant la distance du point considéré à un point fixe convenablement choisi sur la génératrice.

657. Il n'est pas sans intérêt de nous arrêter a la formule précédente pour définir géométriquement la position du point 0, qui sert d'origine à la longueur désignée par z, et la constante G relative à chaque génératrice.

Soient AB, A'B' deux génératrices infiniment voisines d'une surface gauche,

00' leur plus courte distance. Par le point 0' menons une parallèle O'C a OM. Soit M un point quelconque de AB. Par ce point M abaissons une perpendiculaire MP sur la ligne O'C, qui évidemment sera perpendiculaire aussi au plan CO'B'; du point P, abaissons une perpendiculaire PM' sur O'B', MM' est, en vertu d'un théorème connu, perpendiculaire à O'B'. D'ailleurs les points M et M' étant infiniment voisins, la ligne MM' est située dans le plan tangent en M', qui, passant aussi par la génératrice, est la limite du plan O'M'M. L'angle de ce plan avec le plan fixe B'O'C a évidemment pour mesure l'angle en M' du triangle rectangle MPM', et l'on a, en désignant par <p le complément de cet angle,

lang*=MP'

On a d'ailleurs, en nommant e l'angle des deux génératrices infiniment voisines,

PM' = 0'M'.uinge;

on en conclut, en remplaçant tang s par l'arc infiniment petit 6,

tangf^^.tVM'.

gp est le rapport de l'angle de deux génératrices infiniment voisines h leur plus

courte distance; ce rapport est constant pour une même génératrice, il est la représentation de la quantité désignée par (ï, dans lo paragraphe précédent, O'M' est la distance désignée par 3; et Ton voit que le point fixe 0, dont l'existence a été démontrée (102), est, sur chaque génératrice, lo point où se mesure

sa plus courte distance avec la génératrice voisine. La constante G est le rapport de l'angle de deux génératrices à leur plus courte distance. Lorsque, pour toutes les génératrices d'une surface réglée, G est infini, la surface (103) est développable. Le produit des rayons de courbure est alors infini, et l'un d'eux étant par suite infini, l'indicatrice se réduit à deux droites parallèles.

658. Les formules qui précèdent comprennent implicitement toutes les propriétés générales des normales à une surface dans le voisinage d'un point donné. Parmi les conséquences que l'on en peut déduire, nous nous bornerons a signaler le théorème suivant qui a été donné par Sturm :

Toutes les normales à une surface dans le voisinage du point 0 peuvent être considérées comme rencontrant deux droites fixes perpendiculaires l'une à l'autre, et menées par les centres de courbure des deux sections principales dans les plans de ces sections perpendiculairement à la normale au point 0.

Il suffit évidemment, pour démontrer ce théorème, de chercher l'intersection d'une normale quelconque avec les plans des sections et de constater que ces intersections se trouvent sur les lignes indiquées, lorsque l'on néglige, bien entendu, les infiniment petits du second ordre.

Prenons pour axes des coordonnées la normale au point 0 et les tangentes aux deux sections principales. Soient a/, y\ z' les coordonnées du point 0'; z1 étant infiniment petit du second ordre peut être considéré comme nul; §, >j, Ç étant les coordonnées courantes de la normale en 0', les équations de cette ligne sont

l — *,-Hr*'-+-*r')Ç=o, et comme à cause du choix particulier des axes on a s = o, elles se réduisent à

pour avoir l'intersection avec le plan des ZX, il faut faire y? = o, on en déduit

l'intersection est donc située sur une parallèle a l'axe des X, menée à la distance j?

et passant par conséquent par le centre de courbure de la section ZOX. On verra

de même que le plan ZOY est rencontré par la même normale, sur une parallèle à

l'axe des Y, menée par le centre de courbure de la section principale qu'il détermine.

Sturm a déduit de son théorème une remarque curieuse. Si autour d'un point