LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

d'une surface on trace une courbe fermée infiniment petite 2, les normales à la surface issues des points de cette courbe forment une surface réglée dont la génératrice est assujettie à rencontrer la courbe 2 et les deux droites que nous venons de déterminer. Si, par exemple, la courbe 2 a la forme d'un cercle, l'équation de la surface est très-facile à obtenir, et l'on peut constater que les sections parallèles au plan du cercle sont des ellipses qui, pour deux positions particulières, se réduisent aux droites directrices. Ce résultat, rapproché du théorème que nous allons démontrer dans le paragraphe suivant, peut être mis en évidence par une ingénieuse et très-simple expérience que nous indiquerons plus loin.

659. Nous terminerons ce chapitre par la démonstration de deux théorèmes importants relatifs à la théorie des droites normales à une même surface.

Si des rayons de lumière normaux à une même surface quittent un milieu homogène pour pénétrer dans un autre milieu également homogène, en se réfractant suivant la loi de Descartes, quelle que soit la surface de séparation des deux milieux, ils seront encore, après leur réfraction, normaux à une même surface.

Soient oc, y, z les coordonnées d'un point 0 de la surface qui sépare les deux milieux, a, /3, y les angles formés par le rayon incident avec les axes des coordonnées, a', /3', y' les angles formés avec les mêmes axes par le rayon réfracté, /la longueur qui sépare, sur le rayon incident, le pointa?, jç9 z où il rencontre la surface de séparation, du point xK >yK*zK où il perce la surface à laquelle sont normaux, par hypothèse, tous les rayons incidents. Soit enfin /' une longueur portée sur le rayon réfracté à partir de la surface de séparation des deux milieux, il s'agit de prouver que l'on peut déterminer cette longueur /', de telle sorte que la surface décrite par son extrémité soit normale à tous les rayons réfractés.

En nommant a?a, y%> z%9 les coordonnées de l'extrémité de la longueur /', on a

jc,=x-h/cosaf jl=/H-/cos(3, zx = z-t-/cosy,

xt = x -h /'-cos «', y*=y-\-l'cos$', z* = z + l' cosy',

on déduit de ces équations

dxx=dx-\-zos <x dl-\-ld cos a, dyt=dy+-cos $dl-hld cos (3, rfz,=rfz4-cosy dl-+-ld cos y,

dxt=dx+cosat!de-\-Vdcos<x! ', rf/,=rf/-|-cos p'rf/'4-/'rfcos (3', dzt=dz-\-cosy'dl'-t-l'dcos y'.

Ajoutons les trois premières équations (2) après les avoir respectivement multipliées par cos a, cos /3, cos 7, et les trois autres, multipliées respectivement par cos a', cos ]3\ cos /, nous aurons

dxx cosa -h drt cos û-f-ck, cos y = rf/-H dx cos a 4- rf/cos (3 -+- dz cos y, (3) é

Ar,cos a? 4-rf/, cos (3' + dz, cosy' = dV +• dx cos «' 4* dy cos P' 4- dz cosy\

*K pfcEMieiE FAimE- - CUXXL WFFÉEEVTIEL-

b turfaee, lieu des points xé, r„ z4, étant normale à b droite qui f<

axe* les anfle* a, £, y, on a

| *£r çosz — rfr. cos 5 — dzt cos/ =o,

b première équation se réduit donc à

'5, o = d/-t-f:osxdx -i- cospdr-i-CGsydz.

dx9 dr9 dz, sont les projections sur les axes de coordonnées d'un déplacement aifctraire effectué sur la surface de séparation des deux milieux. Soient ds ce déplacement, et /, f&, y les angles qu'il forme avec les axes; on a

rfx=dlfCOS>., rfr=d!fCOsa, <fc = d!fcosv,

et par conséquent l'équation f5) devient

[€>) o = rf/-i-<fr fcosacos/-hcos£cosa-hcos/cos>,,

ou, en nommant V l'angle formé par la direction du rayon incident avec celle do déplacement^,

'7) O =£//-!- A cos V.

Considérons actuellement le érièdre ayant pour arêtes le rayon incident, la normale à la surface de séparation, et le déplacement <£, en nommant I l'angle du rayon incident avec la normale, et A le dièdre qui, dans le trièdre considéré, a pour arête la normale, on a

ros V = sini cos 12,

et l'équation (7; devient, par conséquent,

'8) o = <//-+- tfosini cos 12.

En nommant l' l'angle formé par le rayon réfracté avec la normale, et remarquant que, d'après la loi de Descartes, les deux rayons sont dans un même plan avec cette normale, on verra de même que la seconde équation (3) devient

( 9 ) cos <x'dx7 -+- cos ydyi -+- cos y' dz7 = dV -h ds sin l' cos 12 ;

en nommant /Tindice de réfraction, on a

( 10) sin iv= rsin 1,

et par conséquent, si Ton prend /' = rl% on aura dV = rdl, le second membre de (9) sera nul en vertu de l'équation (8), et l'on aura

o = cos a! dxi -4- cos j3' dyx -h cos / dz% ,