LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. 69i

contrent D, et l'on pourrait en conclure que les deux plans qui contiennent les droites, loin d'être perpendiculaires l'un à l'autre, comme nous l'affirmons, se réduisent au contraire à un seul. Cette contradiction tient à ce que la proposition sur laquelle le raisonnement est fondé présente un cas d'exception relatif précisément à l'une des deux droites qui rencontrent D. On admet en effet que le plan passant par la droite qui touche la surface S en A, et par un point A' infiniment voisin de A, est tangent à la surface S, parce qu'il contient deux droites tangentes à cette surface, la droite D elle-même et la ligne AA' qui en réunit deux points infiniment voisins. Or il y a évidemment exception lorsque ces deux droites se confondent, c'est-à-dire lorsque le point A' est situé sur une courbe tangente h la droite D; dans ce cas, le raisonnement général est en défaut, et le plan qui passe par le point A' et par la droite D est le plan osculateur de la courbe A A'.

EXERCICES

1. Quelle que soit la loi suivant laquelle se succèdent dans l'espace des droites telles, qu'il en parte une dfe chaque point de l'espace, soient AN celle qui part d'un point A, et AB, AC deux lignes infiniment petites perpendiculaires entre elles et à AN, les angles respectivement formés par la droite issue du point B avec le plan NAB, et par la droite issue de C avec NAC, ont une différence constante.

2. La plus courte distance des normales menées à une surface, par deux points infiniment voisins A et B, est égale au produit de la distance AB par le cosinus de l'angle qu'elle forme avec la direction conjuguée sur la surface.

3. Si AB, AC sont deux directions conjuguées en un point A d'une surface, et que A, A' désignent les distances du point A aux points où sont menées les plus courtes distances

de la normale en A avec les normales en B et en C, la somme -r -\- t, est constante et

égale à la somme des courbures principales delà surface.

4. Supposons que des rayons lumineux, d'abord normaux à une surface S, éprouvent une suite de réfractions. Désignons par h la portion d'un rayon comprise dans le premier milieu, et la surface qui sépare le premier milieu du second, par /' la partie de ce rayon comprise» dans le second milieu, par /''la partie comprise dans le troisième milieu, et ainsi de suite, puis par kH la portion de ce rayon comprise dans le dernier milieu, entre la dernière surface séparatrice et l'une des surfaces auxquelles les rayons deviennent normaux dans le dernier milieu; on aura

ah -+- ax /' -f- aa /" -+- . . . -h ankm = cous t. , a, a,,. . .,<g étant des constantes dépendant des indices de réfraction des divers milieux.