LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES
l'équation (7) devient par suite
, dY [vdX vdY\ „dX /v </X vdY\
Remplaçant Z parpX + qY, et remarquant qu'en indiquant par des parenthèses les dérivées partielles prises avant d'avoir remplacé z par sa valeur en x et v, on a
dX dx
(dX\ (dX\ dz - [dxj^Xdzj dx'
dY(dY\ (dY\ dz dx~\dx) + \dz) dy'
dY(dY\ (dY\dz
t^ et -£ ayant été désignés par p et q, en ayant égard à ces équations, la condition (8) devient
t.) 4xS-vf-..,x+,v)§]=/,[xg + v«+(Px+,v1^],
en nommant ds l'arc infiniment petit de la courbe à laquelle la droite considérée est tangente, on a
dx ,r dy „ dz
a* as as
et par conséquent
vrfX , „dX , , v , vxtfX rfXrfx rfXrfv </X</z
dX
~dl
de même
v rfY m, d\ „ d\ dY
dx dy dz ds
l'équation (9) équivaut donc à
rfX dY
q-di=Plh'
ou
d\ dY
. . as c/s
ou a d'ailleurs X2 -h Y2 4- Z2 = 1 , et par conséquent
v rfX ,r rfY „ dl
(,,) x-s+Y-ar+z*=°*
on' conclut de (10)
c'est-à-dire, à cause de (i i),
, dX
^vdy
dX
ds
Px
-hqY
rfZ
rfX
ds
ds
dX
dY
ds
ds
ds
tf
donc enfin
ce qui prouve que la direction qui fait avec les axes les angles dont les cosinus sont proportionnels à p9 q, — i, coïncide avec celle qui fait des angles dont les cosinus
fï\. ri V ri rl
sont proportionnels à ~> -t- ? -y- -, la première de ces directions est celle de là
normale à la surface 2, et la seconde, celle de la normale principale à la courbe S. Pour que ces deux directions coïncident, il faut et il suffit que le plan osculateur de la courbe 2 soit normal en chaque point à la surface S.
662. Le même théorème peut se démontrer géométriquement de la manière suivante: pour que les droites d'un faisceau soient normales a une même surface, il faut et il suffit (649) que chacune d'elles soit rencontrée par deux autres infiniment voisines et situées dans des plans perpendiculaires l'un à l'autre, et passant par la droite considérée. Considérons, dans le cas qui nous occupe, l'une quelconque D des 'droites du faisceau et la ligne géodésique2 a laquelle elle est tangente : Tune des droites infiniment voisines du faisceau qui rencontre la ligne D est évidemment la tangente infiniment voisine de 2, et le plan qui les contient toutes deux est (563) le plan osculateur de cette courbe; toutes les droites du faisceau étant tangentes à la surface désignée par S, soient A le point de contact deD, et A' celui de la seconde droite infiniment voisine, qui, faisant partie du faisceau, rencontre la droite D; la ligne A A' est à la limite tangente à la surface S dont le plan DAA' est par conséquent le plan tangent; l'un des deux plans qui passent par la droite D et par une droite infiniment voisine du faisceau est donc osculateur à une ligne géodésique de S, et l'autre tangent à cette surface; il en résulte (631) qu'ils sont perpendiculaires l'un à l'autre.
L'étude de la démonstration précédente peut donner lieu à une difficulté à laquelle il est nécessaire de répondre. Le raisonnement par lequel nous prouvons que le plan passant par la droite D et par une droite infiniment voisine du faisceau est tangent à la surface S, semble applicable aux deux droites du faisceau qui ren-
