LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES
sphérique peut être considérée comme étant en chaque point tangente à l'une d'elles. Les normales menées par les points de cette ligne forment d'ailleurs un cylindre ou un cône, c'est-à-dire, dans les deux cas, une surface développable.
Équation différentielle des lignes de courbure.
665. Lorsque l'équation d'une surface est donnée, on peut déterminer en chaque point la direction des sections principales, et par conséquent celle des lignes de courbure. Il en résulte qu'étant données les coordonnées d'un point de l'une de ces lignes, on peut calculer leurs différentielles, et former par conséquent l'équation différentielle des lignes de courbure.
La propriété démontrée dans le pajpgraphe précédent permet d'ailleurs de former directement cette équation sans recourir aux formules relatives aux sections principales.
Soient x,y, z les coordonnées d'un point d'une surface donnée. En adoptant la
, i . ,i dz dz d*z d7z d2z
notation habituelle, et posant ^ =p, ^ = q% ^=r, j^=*, ip=t>
les équations d'une normale sont
£, yj, Ç désignant les^oordonnées courantes.
La normale au point voisin dont les coordonnées sont x + dx, y + dy, z-t-dz, a pour équations
\ — x — dx -+- ( p -+- dp ) ( Ç — z — dz ) = o ,
r,— y — dy+{q-{-dq){r — z — dz) = o.
Pour que les deux normales se rencontrent, il faut que les équations (i) et (2) soient compatibles; leur combinaison donne, si l'on néglige les infiniment petits du second ordre,
dx -+■ pdz — dp (Ç — z ) = o , dy+qdz — dq(Ç — z) = o,
et en égalant les valeurs de Ç — -, déduites de ces équations,
dx -+-p dz rfr -h qdz
dp dq
En remplaçant dans cette équation dz, dp et dq par leurs valeurs, on obtiendra
l'équation différentielle des lignes de courbure. On a
dz = pdx-+-qdy, dp = rdx + sdy> dq = sdx-\-tdy,
et l'équation devient
dx (i-hp2) -hpqdy __dy{i -{- q2)-h pq dx rdx-\-$dy sdx-\-t dy
ou, en réduisant,
(3) dy*[pqt—s{i + q*)]^-dxdy[{i + p*)t — {i+q*)r]+dx*[{i+p*)s—pqr]=o.
Cette équation ne diffère de celle qui détermiy (633) la direction des sections principales, que par la substitution de dx et dy à cos a et à cos /3. Ou aurait pu le prévoir, car les différentielles des coordonnées des points d'une courbe sont proportionnelles aux cosinus des angles "formés par la tangente avec les axes.
