LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES
section principale, on a (637)
dx ~~ dy dz9
les différentielles se rapportant/ bien entendu, à un déplacement infiniment petit effectué sur la ligne de courbure même. On a vu de plus (637) que la valeur commune de ces trois rapports est égale à la courbure de la section normale tangente à la ligne de courbure considérée.
Ce théorème remarquable, signalé par 0. Rodrigues, équivaut à l'équation différentielle des lignes de courbure qu'il est d'ailleurs facile d'en déduire explicitement, ainsi que l'équation du second degré, qui a pour racines les deux rayons de courbure principaux de la surface. Pour le montrer, considérons les équations
on a
dx — prfX = o,
dy — pdY = o,
dz — prfZ ==o;
dX . dX .. dX , — dx^ — dy+^dz,
■^d*+Çydr+d-£<l*>
rfZ =
dZ , dZ , dZ .
..-dx + ^dy+^dz,
et les équations (2) deviennent
/ rfX\ . dX . dX ,
[,-P7ix-)dx-P-dy-dr-P-dz-dz=0'
(4) -o — dx+{,-P—)dy-P-3Idz=o,
dl , dZ . / dZ\ ,
-?dlcdx-?-dy-dr+V-p-dz-)dz=0-
En exprimant que ces équations sont compatibles, on obtient une équation en p, qui est, en apparence, du troisième degré, et dans laquelle les termes en p* disparaissent; cette équation étant supposée satisfaite, deux des équations (4) entraînent la troisième et déterminent les rapports ~% -£ qui conviennent à un déplacement effectué sur la ligne de courbure. Si l'on veut retrouver l'équation en -f I. 88
obtenue (665) par une autre méthode, on devra remplacer dz par sa valeur
dz = pdx -+- qdy.
Le résultat de l'élimination de p entre les équations ainsi obtenues sera l'équation
du second degré en -y—
Nous ne développerons pas ces calculs qui présenteraient peu d'intérêt, mais le principe sur lequel ils reposent est de grande importance, et nous aurons plusieurs fois occasion d'y avoir recours.
670. Nous déduirons immédiatement des considérations précédentes une conséquence intéressante relative à l'expression de la distance de deux points infiniment voisins sur une surface.
Supposons que la position d'un point sur une surface soit déterminée par les valeurs attribuées à deux variables a et /3. Une valeur constante attribuée à l'une des variables détermine une courbe sur la surface, et lorsque a et /3 sont donnés, le point est déterminé par l'intersection des deux courbes correspondantes aux valeurs adoptées. Supposons a et |3 tellement choisis, que les courbes correspondantes aux valeurs constantes de l'un ou de l'autre soient précisément les lignes de courbure de la surface; soient alors x, y, z les coordonnées rectilignes d'un point quelconque de cette surface, X, Y, Z les cosinus des angles formés par la normale en ce point avec les axes de coordonnées, x, y, z, X, Y, Z, sont des fonctions déterminées de a et de|S, et si l'on nomme p,, p2 les rayons de courbure principaux correspondant respectivement aux lignes pour lesquelles «et/3 sont constants, les équations obtenues (669) équivalent à
dX dx
''-dj-wy
d\dx
' ' d x dx
d\ dr ■' dp=Tp'
d V dy dx dx
dZ dz
?' dp = dp '
d'A dz dx dx
Si Ton substitue aux variables a et |3 deux autres variables u et r qui en soient des fonctions connues, x, y, z deviendront des fonctions de u et de v, et leurs dérivées partielles seront données par les formules
dx du
dx da dx dp dX dx dX dp
dx du dp du ' 2 dx du •' </(3 du
dy
dû ■
dy dx dy d^> d\ dx d\ dp ~ dx du^ dp rf« — P* dx rf«+?' dp dû
dz du
dz dx dz dp d7. dx dZ dp "dx du + dp du ~ P' dx Tu ~H?' dp du
