LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. t>9î

Les dérivées relatives a la seconde variable v s'exprimeraient de la même manière. Le cas où la variable // se confpnd avec a mérite d'être remarqué, et conduit à un

da.

résultat qui sera utilisé: y étant égal à l'unité, et les dérivées par rapport à // devenant des dérivées par rapport à- a, on a

dx dX dX d$

dy d\ d\ dp

tk ~ h dï + pl d£ di'

dz __ dZ rfZ dp

Ta-P'dï^^dpJi'

Dans ces trois équations, on a pris pour variables indépendantes le paramètre a et une variable quelconque v qui reste constante dans le calcul des dérivées par rapport à a. On voit que dans les seconds membres les dérivées -j- > -j- > -7- ont pour

coefficient le rayon de courbure c2 relatif à la ligne de courbure perpendiculaire à celle pour les points de laquelle a est constant.

671. Lorsque x, y9 z, X, Y, Z, ont été exprimés en fonction de deux variables quelconques u et v\ il existe entre les dérivées partielles de ces fonctions des relations nécessaires que nous allons faire connaître.

On a, pour un déplacement quelconque effectué sur la surface,

( 1 ) X dx -f- Y d/ -f- Z dz = o ,

et puisque xy y, z sont fonctions de u et de v, en appliquant l'équation (1) aux deux déplacements qui résultent d'un changement infiniment petit attribué a une seule des deux variables, on a

v dx x- dy „ dz du du du

dx xr dy t, dz dv dv dv

L'équation