V-HYJ + Z'=i

donne d'ailleurs

x d\ d\ z</z__0 du du du '

v dX v d\ „drL

\ — -f-\ -r- -hZ-=0.

dv dv dv

dx ~dv~

du dv

dy dv

du dv

dv'

du dv

Chacune des deux équations (3) doit être une conséquence des équations (a); car s'il en était autrement, on aurait trois équations distinctes entre X, Y, Z, dont la seule solution possible serait

Il faut donc que les équations (2) puissent s'obtenir en ajoutant les équations ( 3) après les avoir multipliées par des coefficients convenablement choisis, et l'on a par conséquent, en désignant par M et N des fonctions convenables,

dx . dX. N dX

du du dv9

(4) ^=M^ + NW'

du du dv

La démonstration de ces équations est en défaut lorsque les deux équations (3) rentrent l'une dans l'autre, c'est-à-dire dans le cas où l'on a

Ces relations expriment que Y et Z sont fonctions de X, ou en d'autres termes que X, Y, Z peuvent s'exprimer tous trois en fonction d'une seule variable: a chaque valeur de cette variable correspond une direction de la normale, et comme il n'est pas possible qu'une surface admette une infinité de plans tangents parallèles entre, eux, le plan tangent correspondant est déterminé. L'équation du plan tangent étant déterminée par une seule variable, la surface est l'enveloppe des positions d'un plan dans l'équation duquel figure un seul paramètre, c'est-a-dire une surface dévcloppable. Les surfaces développables font donc seules exception au résultat que nous venons d'obtenir.

672. Lorsque après avoir choisi deux variables* quelconques u et *>, on aura formé les équations dont la possibilité vient d'être démontrée,

rfZ

du ~dY~

du 'dl

dx . dX .T dX du du dv

dx %§fdX „,dX dv du dv

du du dv

dv du dv

dz xtdZ XT dl dz f, rfZ , w dZ

du du dv dv du dv

rfX'