LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

Soient, en effet,

les équations de deux surfaces qui se coupent suivant une ligne de courbure commune. Nommons x9 y, z les coordonnées d'un point de l'intersection, etûtr, dy, dz les variations relatives à un déplacement infiniment petit effectué sur cette ligne; les angles formés avec les axes par les normales aux deux surfaces étant a, j3, y, o\ |3\ y\ on a

cos oc dx -h cos (3 rfp -h cos y rfz = o,

cos «' dx -h cos(3' rfj-h cos y' dz = o;

de plus, l'intersection étant une ligne de courbure de chacune des surfaces,

dx dy dz

d cos a d cos (3 d eus y '

dx dy dz

dcosa' dcosfi' d cos y'*

d'après lesquelles on déduit de (i)

cos a. d cos a' -h cos (3 rfeos (3' -+- cos y d cos y' = o , cos a! rf cos a -h cos (3' d cos (3 -h cos y' d cos y = o ,

et en ajoutant ces deux équations,

rf(cos a cos a' -h cos (3 cos (3' -h cos y cos y') = o,

c'est-à-dire

cos a cos ai -h cos (3 cos (3' -h cos y cos y' = const.

Cette équation exprime évidemment que les deux surfaces se coupent sous un angle constant.

680. Réciproquement, si deux surfaces se coupent sous un angle constant, et que l'intersection soit ligne de courbure de la première, elle est aussi ligne de courbure de la seconde. On a alors, en effet, en adoptant les notations du paragraphe précédent,

. . dx dy dz

dcosa"" dcos(3~~" dcosy'

le signe d se rapportant toujours à un déplacement infiniment petit effectué sur la I. 89

ligne d'intersection, et pour exprimer que l'angle des deux normales est constant,

( 2 ) d ( cos a cos a! -f- cos (3 cos |3' -h cos y cos y ' ) = o ;

on a enfin les deux équations

cos adx-+~ cos {3 dy -+- cos ydz = o, (3)

cos a' rf^r -h cos (3' dy-h cos y'dz=o,

qui expriment que la courbe d'intersection est perpendiculaire aux deux normales.

Des équations (i) et (3) on déduit évidemment

( 4 ) cos a! d cos a -h cos (3' d cos (3 -h cos y' rf cos y = o ,

qui, combinée avec l'équation (a), donne

(5) cos ad cos a' -h cos (3rfcos (3' 4- cos y rfcos y' = o , et on a d'ailleurs

(6) cos a' d cos a'-f- cos (3' rf cos (3' -h cosy' dcosy' = o,

et les équations (5) et (6), rapprochées des équations (3), donnent

dx dy dz

" ' d cos «' d cos (3' "" d cos y' *

ce qui exprime (669) que l'intersection est une ligne de courbure de la seconde surface.

Surfaces orthogonales.

681. Nous avons déjà considéré (123) les systèmes de surfaces qui, se coupant orthogonalement, partagent l'espace en parallélépipèdes infiniment petits. Cette étude, qui semble appelée à prendre une grande importance, a déjà fourni de beaux résultats à la géométrie et à l'analyse. L'une des propositions les plus célèbres et les plus importantes dans cette théorie est le théorème suivant dû à M. Charles Dupin.

Lorsque trois séries de surfaces se coupent orthogonalement, l'intersection de deux quelconques d'entre elles est une ligne de courbure de l'une et de l'autre.

Considérons, en effet, un point A où se coupent trois surfaces du système considéré, et soient AX, AY, AZ les tangentes aux trois lignes d'intersection, et aussi, d'après nos hypothèses, les normales aux trois surfaces; prenons ces lignes pour axes