LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

de coordonnées, et considérons trois points M, N, P respectivement situés sur elles à distances infiniment petites et égales entre elles du point A. On peut, en négligeant les infiniment petits du second ordre, regarder ces points comme situés sur les courbes d'intersection auxquelles les axes sont tangents. Soient a, |3, 7, a', |3\ y7 les angles formés avec les axes par les normales en M aux deux surfaces qui se coupent suivant AM; ces deux normales étant perpendiculaires l'une à l'autre, on a (1 ) cos a cos a' -f- cos (5 cos (5' -+- cos y cos y' = o.

a et a" différant infiniment peu d'un angle droit, et /3 étant infiniment petit ainsi que 7', cette équation devient, en négligeant les infiniment petits du second ordre,

( 2 ) cos (3' -f- cos y = o.

Soient de même a,, /3,, 7,, at, fïi9 y\9 les angles formés avec les axes par les normales en N aux deux surfaces qui se coupent suivant AN, et a2, j32, 7*, a2, |3'2, 7 \ les angles analogues relatifs au point P: on aura de même

cos/, -h cos a, = 0, (3)

cos a, +cos(3,= o;

mais d'après le théorème démontré (649), on a

cos (32 = cos y\ ,

(4) cos y =cosa',,

cosa, = cos|3'.

Si l'on remplace les premiers membres de ces trois équations par leurs valeurs déduites de (2) et (3), on a

(5) cos(â'-+-cosa, =0, cos/l-+-cos(3' = o, cosa, -hcos/, =0.

Ajoutant les deux premières membre à membre, et retranchant la troisième, on a enfin

(6) 2COs(3'?=o;

on en déduit immédiatement

(?) cos^so, cosa1==o, cos«, = o, cosy = o, cos(3, = o.

L'équation (6) exprime que la normale en M à Tune des surfaces qui passent par ce point est perpendiculaire a l'axe des Y, et située par conséquent dans le plan ZAX; elle rencontre donc la normale en A qui est AZ, et AA' est la direction d'une ligne de courbure: on verra de même qu'en vertu des cinq équations (7) les lignes de courbure des trois surfaces qui se coupent en A sont tangentes aux axes

AX, AY, AZ; et comme A est un point arbitrairement choisi, on voit que chaque courbe d'intersection est tangente en chaque point à l'une des lignes de courbure des surfaces sur lesquelles elle est située, ce qui exige évidemment qu'elle soit elle-même une ligne de courbure.

682. Le théorème précédent ayant une grande importance, nous en donnerons une seconde démonstration.

Soient

les équations des trois systèmes de surfaces dans lesquelles pif p2, p, désignent des paramètres arbitraires dont la valeur les caractérise. Supposons les axes choisis de telle manière que l'origine des coordonnées soit un point où se croisent trois de nos surfaces. Supposons de plus que la première surface soit tangente au plan des XZ, la seconde au plan des XY, et la troisième au plan des YZ; les surfaces se coupant toujours à angle droit, on a identiquement

</<Pi do7 ^9, do, . rf?i dfy —

* ' dx dx dy dy dz dz '

do7 rfcp3 dçj djpi djfr dçfr __ (2) dx dx + dy dy*~ dz dz ~°'

dy* ç/9, rf9s rfo, dy* rf?. __

* dx dx dy dy dz dz

Différentions l'équation fi) par rapport à .r, l'équation (2) par rapport à y, et l'équation (3) par rapport à z, nous aurons

f d^,d2^: dy7d2yl rf'9, rf<?2 rfcp, </3 9, rf2 9, do7 d 9, d2 9,

* </.r r/r2 dx dx7 dx dy dy dy dx dy dx dz dz dz dx dz '

r \ (L22 Él^L i ljj£l ^2(P3 , (iSl ^a?' , <*?• (^3?3 dos d2yx rf<p, d2Q} __ dx dx dz dx dx dz dy dy dz dy dy dz dz dz2 dz dz2

Si dans ces équations, qui sont identiques, on suppose x=o, y = o, z = o9 on aura, d'après les hypothèses faites sur les plans tangents à l'origine,

dot dot dy7 do* do3 do%

-jx=0' rfi-=°' w=°' ^'=0, "S"^0' w=0*