LIVRE TROISIÈlff . - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

et les équations deviennent

rfcp, rf»<p, t dy* rfa<p, __ [1) ~tydïTr^ dz dxdz~°'

(8) rfy, rf'9, J9, </'<pa =o

1 ' </a: dxdy dz dzdy '

rfjja rf'o, rfj>, rf'9» =

^' cte dx dz dy dy dz

Des équations (7) et (9), on déduit

rf'9» rf 93 rf*93 dy* ___

cfcr rf/ 75 c// dz dz '

qui, combinée à (8), donne

rf 9, d*yz

et comme -?1 » -^-J ne sont pas nuls, on en conclut

rf*9» rfa9s __Q.

dxdy~ ' <// rfz '

on trouverait de même

ce qui démontre (667) que les lignes de courbure sont, à l'origine, tangentes aux axes de coordonnées, et comme l'origine est un point arbitraire de l'espace, les lignes de courbure sont en chaque point tangentes aux intersections des surfaces deux a deux, et sont par conséquent ces intersections mêmes.

683. Les géomètres ont obtenu, par des méthodes sur lesquelles nous aurons à revenir, et qui ne peuvent être exposées en ce moment, un grand nombre de systèmes de surfaces orthogonales, dont, par cela même, le théorème précédent fait connaître les lignes de courbure. Bornons-nous à montrer ici comment, un tel système étant connu, on peut en déduire une infinité d'autres. Il suffît de faire subir aux surfaces qui composent le système donné la transformation par rayons vecteurs réciproques, qui consiste, comme*on sait, à joindre chaque point M du système à un point fixe 0, et à prolonger OM jusqu'en un point M' tel, que le produit OM.OM' soit

710 l'HKMBRK PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

i'*Kiil à un «Mrré donna. Lu point M' ainsi défini est dit le correspondant de M. (Juiquo point do la ligure primitive ayant son correspondant, chaque ligne et (|iim|iio Mirfuec a évidemment une ligne ou une surface correspondante. Un triiiiihIc infiniment prtit quelconque ABC est transformé de cette manière en un tri-

angle Hcmhliihlc A' HT/. On a, en effet, par hypothèse, en désignant par K une ligne donner, OA.OA' =K\ OB.OB' = K*. OC.OC'=K*. Heu résulte que les triangles OAB. t)A'B' sont semblables, et que Ton a