LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

toutes les lignes de courbure soient circulaires, elle est l'enveloppe des positions d'une sphère tangente à trois autres.

Réciproquement : la surface enveloppe des sphères tangentes à trois sphères données a toutes ses lignes de courbure circulaires. La surface ainsi définie étant l'enveloppe d'une sphère dont l'équation ne contient évidemment qu'un seul paramètre, les lignes de courbure de l'un des systèmes sont (694) des cercles; pour prouver que les lignes de courbure du second système sont également circulaires, M. Dupin a fait voir que la surface peut, d'une autre manière, être considérée comme l'enveloppe d'une sphère mobile. Nous ne reproduirons pas ici cette élégante démonstration, et nous nous bornerons à montrer, d'après M. Mannheim, que la surface en question, nommée surface cyclique, peut toujours être considérée comme la transformée par rayons vecteurs réciproques d'un tore. Les lignes de courbure du tore étant circulaires, et celles de la surface transformée pouvant s'en déduire (683) à l'aide de la transformation qui transforme toujours les cercles en d'autres cercles, seront elles-mêmes circulaires.

Quel que soit le pôle de transformation, la transformée d'une sphère est une sphère. Si donc on considère trois sphères fixes, et une série d'autres sphères qui les touchent toutes trois, la figure transformée se composera de trois sphères transformées des trois sphères fixes et d'une série de sphères les touchant toutes trois. Or on peut toujours choisir le pôle de transformation de telle sorte que les sphères transformées des trois sphères fixes aient leurs centres en ligne droite; il suffit pour cela de prendre pour pôle un point situé dans le plan qui contient les centres des trois sphères et sur la circonférence du cercle qui, dans ce plan, coupe orthogonalement les trois grands cercles. Cette circonférence passant par le pôle sera transformée en une ligne droite, et comme la transformation n'altère pas les angles, les trois sphères transformées seront coupées orthogonalement par une même ligne droite qui doit pour cela passer par leurs trois centres.

Il est bien évident d'ailleurs que trois cercles étant donnés dans un plan, il en existe toujours un quatrième qui les coupe tous trois à angles droits, et qui a pour centre le point duquel on peut leur mener trois tangentes égales. La surface cyclique que nous étudions peut, d'après ce qui précède, avoir pour transformée la surface enveloppe des sphères tangentes à trois sphères fixes dont les centres sont en ligne droite. Or, en coupant les trois sphères fixes par un plan passant par leur ligne des centres, on obtiendra trois cercles; l'un quelconque des cercles qui les touchent tous trois est le grand cercle d'une sphère tangente aux trois proposées. Celle-ci obtenue, on peut évidemment la faire tourner autour de la ligne des centres des trois sphères fixes, qu'elle touchera constamment dans toutes ses positions. La surface enveloppe de cette sphère mobile est évidemment un tore, et toute surface à lignes de courbures circulaires est par conséquent la transformée par rayons vecteurs réciproques d'un tore.

699. Surface dont les deux rayons de courbure sont constants. — Lorsque l'un des rayons de courbure est constant, la surface est (696) une surface canal, enveloppe d'une sphère de rayon égal à ce rayon constant; les surfaces dont les deux rayons de courbure sont constants sont par conséquent des surfaces canaux dont le second ravon de courbure est constant.

Soit AOO'B la courbe lieu des centres des sphères inscrites dans une surface canal, et OM, O'M' deux cercles infiniment voisins qui sont des lignes de courbure du premier système. Soit MM' un arc de la ligne de courbure du second système; les normales en M et M' à la surface sont évidemment MO, M'O, et vont se rencontrer en un point C situé sur la droite d'intersection des plans des deux cercles; or lorsque le point M parcourt le cercle sur lequel il est situé, le point C décrivant une ligne droite, il est impossible que OC, et par suite MC, soit constant: le rayon de courbure du second système varie donc successivement d'un point a l'autre, et il ne peut y avoir d'exception que si la courbe AOO'B se réduit à un point, auquel cas la surface canal est une sphère.

700. Surfaces dont les lignes de courbure se confondent avec les sections normales principales. — Lorsqu'une ligne de courbure est plane, son plan (678) coupe la surface sous un angle constant. Nous voulons ici examiner particulièrement le cas où toutes les lignes de courbure de l'un des systèmes étant planes, leurs plans coupent la surface sous un angle droit. Les lignes de courbure du second système sont évidemment, dans ce cas, normales aux plans qui contiennent les lignes du premier système, et par conséquent la surface peut être engendrée de la manière suivante : donnons-nous la surface développable enveloppée par les plans des lignes de courbure du premier système, et dans l'un de ces plans choisissons arbitrairement la ligne de courbure qui s'y trouve située. La surface sera entièrement déterminée, car les lignes de courbure du second système coupant à angles droits la série con-