LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

tinue des plans tangents à la surface développable, chacune d'elles est déterminée par un de ses points; il en partira une de chaque point de la ligne de courbure du premier système que Ton s'est donné, et leur ensemble formera la surface.

La surface développable enveloppée par les plans des lignes de courbure, et la forme de cette ligne dans un des plans, ^ont d'ailleurs entièrement arbitraires. Il est évident en effet que la surface engendrée par une série de lignes normales aux plans que Ton s'est données, est elle-même coupée normalement par tous ces plans qui. par conséquent ;678 , par leur intersection avec la surface, déterminent des lignes de courbure.

Pour réaliser la génération de la surface» il suffit évidemment de faire rouler le plan tangent qui contient la ligne de courbure que Ton s'est donnée, sur la surface développable donnée, de manière à le faire tourner a chaque instant autour de la génératrice de contact. Le mouvement de chacun de ses points est alors dirigé à chaque instant suivant la normale au plan mobile, et les différents points de la ligne de courbure du premier système que l'on s'est donnée engendrent les lignes du second système dont l'ensemble forme la surface demandée. On voit que les lignes de courbure du premier système sont les positions successives d'une seule et même ligne qui se meut avec le plan dans lequel elle est située, et ces lignes sont par conséquent superposables.

701 . Toutes les normales de la surface que nous venons de définir sont évidemment tangentes à la surface développable enveloppe des plans des lignes de courbure. Réciproquement, toute surface dont les normales sont tangentes h une surface développable admet un système de lignes de courbure planes, dont les plans la coupent normalement et sont tangents à la surface développable. Supposons, en effet, que toutes les normales d'une surface soient tangentes aune même surface développable : toutes celles dont le point de contact appartient à une même génératrice de la surface développable sont évidemment situées dans le plan tangent le long de cette génératrice, elles se rencontrent donc deux à deux et correspondent par conséquent à une ligne de courbure évidemment située dans ce plan, qui coupe la surface normalement, puisqu'il contient la normale en chaque point de la courbe d'intersection.

702. Examinons en particulier les surfaces dont les normales sont tangentes à un cylindre. Une telle surface est engendrée, d'après ce qui précède, par une courbe plane de forme invariable, dont le plan roule sans glisser sur la surface du cylindre, en restant par conséquent parallèle à la direction de ses génératrices. Les positions successives de cette courbe plane sont les lignes de courbure du premier système; quant aux lignes de courbure du second système, elles coupent nonna-

lement les plans tangents du cylindre; leur tangente reste par conséquent parallèle au plan de la section droite du cylindre, et il en résulte que ces lignes sont planes et situées dans des plans parallèles.

703. La réciproque du théorème précédent est exacte; lorsque les lignes de courbure de l'un des systèmes sont planes et situées dans des plans parallèles, les normales a la surface sont tangentes à un même cylindre, et les lignes de courbure du second système sont situées dans des plans tangents à ce cylindre.

Soient en effet A, A', A", les lignes de courbure d'une surface, qui, par hypothèse, sont planes et situées dans des plans parallèles. Soit B une ligne de courbure du second système rencontrant les premières en a, a\ a",...; ses plans tangents menés à la surface par les différents points d'une ligne de courbure enveloppant une surface développable dont les génératrices, qui sont les intersections de deux plans voisins, sont les tangentes conjuguées (644) de celles de la ligne de courbure auxquelles elles sont par conséquent perpendiculaires ; les tangentes aux lignes A, A', A", menées par les points a, a', a", forment donc une surface développable dont les génératrices sont situées dans les plans de ces lignes qui, par hypothèse, sont parallèles, et comme deux génératrices consécutives doivent être dans un même plan, elles sont nécessairement parallèles, et la surface développable qu'elles forment est un cylindre. La courbe B, suivant laquelle ce cylindre touche la surface donnée, étant ligne de courbure de la surface, est aussi ligne de courbure du cylindre, et par conséquent une de ses sections droites, dont le plan est évidemment normal en chaque point à la surface cherchée à laquelle le cylindre est circonscrit. Les lignes de courbure B sont donc planes, et leurs plans coupent la surface à angle droit.

704. Le même théorème peut aisément se démontrer analytiquement. Prenons pour axe des Z une parallèle aux plans des lignes de courbure du premier système; en nommant x, y, z les coordonnées d'un point de l'une de ces lignes, et X, Y, Z les cosinus des angles formés par la normale avec les trois axes, on a (637)

dx dy dz (,) ï7\ = r7Y = 7Z = R'

R étant le rayon de courbure correspondant à la ligne considérée, et les différentielles se rapportant a un déplacement effectué sur cette ligne. Le plan de la ligne de courbure étant parallèle à l'axe des Z, on a, entre x et v, une relation de la forme

(2) v = ax-h,3,

çz et |3 étant deux constantes.