LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES
Soit AA' la droite à laquelle sont parallèles les plans des lignes de courbure de
l'un des systèmes, et par laquelle passent tous les plans des cercles qui leur corres-
pondent sur une sphère dont le centre est en 0; choisissons trois axes de coordonnées OX, OY, OZ, dont l'un, OY, soit parallèle à AA\ et dont l'autre, OZ, perce cette ligne en son milieu C : en nommant m la distance OC, l'un des cercles qui passent par A A' a pour équations
x*+-y2-\-z'1 = i, z = ax -h m y
a étant un paramètre variable : on déduit de ces équations
dr dz
dz dx
z — tu
d'où, en éliminant -r^>
dy
x2 -+- xy -j — h z ( z — //i j = o.
En supposant le rayon de la sphère égal à l'unité, x, y, z étant les coordonnées de l'extrémité d'un rayon parallèle à la normale de la surface, on a
l'équation (a) devient par conséquent
dr
on en conclut
dy — m y] i -h p1 -h q1 — i — p*
dx pq
La tangente de la ligne de courbure est parallèle, en chaque point, à celle du
dy
cercle qui la représente sur la sphère; on peut donc porter cette valeur de -jdans l'équation différentielle des lignes de courbure
et Ton trouve ainsi l'équation différentielle
Rr-+-S$-t-T* = o,
en faisant, pour abréger,
S=m>(i-| ^j^i-f-pa-i-^ — 2m(i-hpa)(H-çs)-+-(H-/>,)^|-i-^-H9:»
T = pqm[i +p7—m^i-hpi-+-q7].
