ÉTUDE DES LIGNES TRACÉES SUR UNE SURFACE

Lignes géodésiques.

707. La ligne la plus courte que l'on puisse tracer entre deux points d'une surface se nomme ligne géodésique; ces lignes jouent le même rôle dans l'étude des courbes tracées sur une surface que la ligne droite dans l'étude des courbes planes ou le grand cercle dans celle des courbes sphériques.

On a vu (631) que le plan osculateur d'une ligne géodésique est, en chaque point, normal à la surface sur laquelle elle est tracée. Réciproquement, si une courbe tracée sur une surface a, en chaque point, son plan osculateur normal à la surface, un arc infiniment petit de celte courbe est, comme on l'a vu (631), le plus court que l'on puisse tracer sur la surface entre ses deux extrémités. La ligne reçoit alors par extension le nom de ligne géodésique, quoiqu'elle puisse ne pas être la plus courte entre deux points suffisamment éloignés. C'est ainsi par exemple que, sur une sphère, un arc de grand cercle plus grand qu'une demi-circonférence se nomme ligne géodésique, quoiqu'il ne soit pas la plus courte distance entre ses deux extrémités.

Par deux points donnés sur une surface on peut toujours faire passer une ligne géodésique au moins, mais d'après ce que nous venons de dire on conçoit qu'il en puisse exister plusieurs; ainsi, par exemple, deux points de la surface d'un cylindre peuvent être réunis par un nombre infini d'hélices formant entre eux un nombre quelconque de spires.

708. La propriété caractéristique1 des lignes géodésique» peut être énoncée sous une forme qui nous sera très-utile : la projection d'une ligne géodésique sur le plan tangent à la surface en un quelconque de ses points a, en ce point, un rayon de courbure infini.

Soit, en effet, MM" un arc infiniment petit de ligne géodésique tracé sur une surface S, et MM" la projection de cet aie sur le. plan qui touche la surface en M, ce plan tangent est perpendiculaire au plan oscillateur de l'are MM', et coupé par lui suivant la tangente commune des arcs MM', MM ; il en résulte que la distance du point M" a la tangente en M de IW iMM" est rigoureusement égale a la perpendiculaire abaissée du point M' de lare MM' sur le plan oscillateur de cet arc en M;

elle est donc du troisième ordre, et le rayon de courbure de MM" est par conséquent

infini.

709. Lorsque deux lignes géodésiqucs se coupent sous un angle infiniment petit rfw, la loi de leur écartement, à distance infiniment petite du point d'intersection, est la même que pour deux lignes droites sur un plan; en d'autres termes, si l'on porte sur chacune d'elles, à partir de leur point d'intersection 0, des longueurs infiniment petites égales, OP et OQ, que nous représenterons par rf/, on a, en négligeant les infiniment petits du troisième ordre,

Projetons en effet le triangle infinitésimal OPQ sur le plan qui touche la surface

en 0; les projections de OP et de OQ ont des rayons de courbure infinis: nous pouvons donc, en négligeant les infiniment petits du troisième ordre, les remplacer par leurs tangentes; toutes les lignes de la figure formant d'ailleurs des angles infiniment petits avec le plan sur lequel on projette, chacune d'elles peut être considérée comme égale à sa projection; on peut donc considérer la distance PQ, en ne négligeant qu'une portion infiniment petite de sa propre valeur, comme la distance de deux points situés chacun à distance dl du sommet, sur les côtés d'un angle rectiligne d<ù\ cette distance est évidemment dl.do>.

Il faut bien remarquer que ce résultat cesserait d'être exact si les lignes géodésiques qui forment les côtés de l'angle étaient remplacées par deux courbes quelconques; il est aisé de voir que, même sur un plan, le théorème, appliqué à deux courbes qui se coupent sous un angle infiniment petit, serait inexact; l'expression trouvée est en effet celle que l'on obtiendrait en remplaçant chaque courbe par sa tangente; or une telle substitution introduit une erreur du second ordre, comparable par conséquent à la distance que Ton veut évaluer.

710. Lorsque trois lignes géodésiques d'une surface forment un triangle infiniment petit, l'excès de la somme des angles de ce triangle sur deux angles droits est un infiniment petit de même ordre que la surface du triangle, c'est-à-dire un infiniment petit du second ordre, si l'on regarde les côtés comme du premier ordre.

Soit en effet ABC un triangle infiniment petit formé par trois lignes géodésiques

d'une surface; projetons la figure sur le plan tangent en A; les trois lignes AB,