KM<KM

on en conclut

OK-hKM<OK-+-KM',

mais la somme OK-hKM' est la distance OM', égale par hypothèse à OM, et par conséquent il résulterait des suppositions qui ont été faites, que

OK-hKM<OM,

résultat absurde, puisque OM est, par hypothèse, la ligne la plus courte que Ton puisse tracer sur la surface entre les points 0 et M.

712. La démonstration précédente suppose que les lignes géodésiques considérées soient les plus courtes que Ton puisse tracer entre leurs points extrêmes; elle ne s'étend pas par conséquent à toutes les lignes dont le plan osculateur est en chaque point normal à la surface. Le théorème est cependant exact pour de telles lignes. Nous le démontrerons en établissant d'abord un théorème plus général : si par les points d'une courbe quelconque tracée sur une surface, on élève des lignes géodésiques perpendiculaires à cette courbe, et que sur chacune d'elles on porte une longueur fixe quelconque, le lieu des extrémités de ces longueurs coupe perpendiculairement toutes les lignes géodésiques. Soient AM, A' M' deux lignes géodésiques égales, qui soient l'une et l'autre les plus courtes que l'on puisse mener entre leurs extrémités. Supposons que les angles en A et en A' soient droits, il faut prouver qu'il en est de même des angles en M et en M'.

Joignons le point M au point A' par une ligne géodésique: l'angle MAA' étant droit, la ligne AA' est tangente à la courbe lieu des extrémités des longueurs égales à MA, portées sur les lignes géodésiques issues du point M; si donc AA' est infiniment petit du premier ordre, la différence MA' — MA est du second ordre, et à cause de l'égalité supposée entre AM et A'M', A'M et A'M' ont la même différence infiniment petite du second ordre ; si donc on porte sur les lignes géodésiques issues de A' des longueurs égales à A'M', le lieu de leurs extrémités qui, d'après le théorème précédent, est normal à A'M', sera tangent à M'M, qui par conséquent coupe A'M' sous un angle droit.

Cette démonstration suppose, comme la précédente, que les lignes géodésiques considérées soient les plus courtes entre leurs deux extrémités; mais en réunissant les deux théorèmes on démontre aisément qu'il est permis de supprimer cette condition. Si en effet on porte normalement à une courbe une longueur constante sur